高中数学教学中教师教学想象的价值探究

练育宏

[摘  要] 教学需要想象，教师的教学想象可以让教学过程更为流畅、完整. 教学想象对数学学科核心素养的支撑作用可以得到理论与实践两个方面的佐证，在高中数学教学中利用教学想象，可以更好地确定教学目标，进而实现核心素养的培育. 教师的教学想象需要向学生在数学学习中的想象能力培养延伸，这样可以更好地实现教学相长.

[关键词] 高中数学;教学想象;核心素养

教学需要想象，这是核心素养背景下的基础教育的一个重要命题. 教学想象就是教师在教学过程中根据自身的经验与课程教学的需要，在教学前预设教学效果，在教学过程中根据对学情的判斷（也是想象）完成或调整教学过程，在教学后评价教学过程并对其后的教学进一步展开想象的过程. 教学之所以需要想象，是因为在教学的过程中，教师面对的是学生，而学生的成长是需要想象来提供支撑的，无论是智力的发展还是品格的培养，没有必要的想象是不完整的. 伊根教授将想象分为认知和情感两个领域，恰恰也是这个指向，将这两个指向与核心素养所强调的必备品格与关键能力对应起来，就会发现教学想象与核心素养培育是完全吻合的，也因此研究教学想象就有着更重要的价值.

高中数学教学中，由于数学知识的逻辑体系非常明显，又由于思维所加工的对象都是抽象的数与形，因此逻辑思维将成为数学学习中的主要方式. 而这对学生的挑战是非常大的，虽然说高中学生抽象思维能力已经比较强，但学生的实际思维能力与数学知识要求之间仍然存在落差，要弥补这个落差，主动权在于教师，在于教师通过自身的教学想象，去为学生的数学学习构建一个合理的情境，以让学生能够在此情境中更好地运用抽象思维与形象思维的结合来构建知识. 本文试就高中数学教学中的教师想象提出自己的观点，并尝试总结其价值.

教学想象可以更让教师更准确地确定教学目标

教学总是要确定教学目标的，通常情况下教学目标的确定都是依据教学参考书或教学经验来确定的. 而且要注意的是，教学目标的确定都是用知道、了解、理解等词语来界定的，需要注意的是这些结果都是终结性的，并不指向具体的教学过程，但这些目标又是基于具体的过程来实现的，而教学过程如何在教学之前又是未知的，因而就需要教师通过教学想象去预设. 由于我们强调教学想象必须是基于教师的经验与学生的学习心理去进行，因此良好的教学想象可以保证教学目标得到更好的实现.

比如在“椭圆的标准方程及几何性质”的教学中，教师预设的教学目标通常是：掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中形成基本的运算能力（知识目标，对应着数学学科核心素养中的逻辑推理与数学运算）;经历椭圆标准方程的推理过程，学会从具体实例中提炼数学概念的方法，经历从形象到抽象、从具体到一般的思维过程，掌握椭圆标准方程的数学本质，培养一定的归纳概括能力;学会用坐标化的方法求动点轨迹方程——解析法（能力目标，对应着数学学科核心素养中的数学抽象等）;进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识（情感目标，对应着数学学科核心素养中的数学建模）.

要实现这些目标，教师需要基于对学生认知基础的把握与教学目标去发挥教学想象，以促进这些目标的达成. 笔者在教学中重点对这两个基本问题进行了教学想象：一是椭圆的标准方程应当经历一个什么样的建立过程？二是如何根据椭圆的标准方程去让学生得出椭圆的性质.

对于第一个问题，笔者想象下的教学设计是这样的：先让学生复习自己熟知的椭圆定义或者说是得出椭圆的方法：确定两个焦点，确定它们之间的距离，然后根据椭圆定义中的到两个定点的距离等于定值，让学生将这段文字转换为具体的图形. 这里涉及转换，也涉及逻辑推理与数学抽象，当学生在草稿纸上按要求作出图形之后（教师这个时候要准备好一个椭圆生成过程的动画，以帮学生进一步生成这个表象）;其后，根据椭圆的定义建立等式，即椭圆上任意一点P（x，y）到两个焦点的距离等于定值2a，然后再引导学生对等式进行推理，最终得出椭圆的标准方程. 这个过程中的重点是等量关系的建立与逻辑推理的运用，在教学想象中需要认真考虑的是，逻辑推理得出椭圆标准方程的过程，必须要让学生的思路非常清晰，否则他们对椭圆的标准方程理解肯定会产生困惑感，这虽说是经验之谈，但确实反映着相当一部分学生的学习现实.

对于第二个问题，笔者想象下的教学设计是这样的：首先，要想办法让学生知道描述椭圆的性质需要从范围、对称性、顶点、离心率等角度进行. 笔者预设的教学过程是给出学生一个平面直角坐标系中的椭圆，然后初步用问题去引导学生全面认识椭圆，如椭圆有大小之分吗？（指向椭圆的范围）如果沿x轴或y轴对折，会出现什么情形？（指向椭圆的对称性）从图上来看椭圆的大小确定于哪些点？（指向椭圆的顶点）为什么有的椭圆看起来扁一些，有的椭圆看起来圆一些？（指向椭圆的离心率）. 这样的系列问题的提出，可以让学生对椭圆的性质的探究有一个全面的印象与准确的方向，其后的教学过程中，学生的思路会更明确. 当然，也可以采用数学探究的思路，在学生不明白具体从哪些角度探究性质的情况下，逐步得出性质. 具体选择，主要还是看学生的具体情况与目标预设.

教学想象可以支撑数学学科核心素养有效培育

在上面的论述中，多次提到了教学想象与数学学科核心素养的关系，实践证明，教学想象确实是可以支撑起数学学科核心素养培育的. 下面仍以“椭圆的标准方程及几何性质”的教学为例来说明.

椭圆的标准方程是用“数”去描述“形”的，椭圆的几何性质又是从形的角度去认识椭圆的，在标准方程得出的过程中，第一个教学重心应当是椭圆形成过程表象的建立，笔者以为学生基于原有经验去画出一个椭圆的过程会是很顺利的，而将椭圆置于平面直角坐标系中，尤其是当椭圆的焦点分别在x轴或y轴上时，所得到的椭圆的标准方程有所不同这个过程，学生可能会存在隐藏着的风险，因为这不仅仅是标准方程中的a值分别在x或y对应的分母上，而应当是推理得出椭圆标准方程过程中的数学运算的差异. 因此综合起来看，从对椭圆的文字描述到标准方程的得出，其中存在着的数学抽象、逻辑推理、数学运算，以及标准方程本身在后来的问题解决中作为模型的运用，都很好地对应着数学学科核心素养的基本要素.

椭圆的几何性质探究过程中，逻辑推理起着基础性的作用，因为根据上一点的构想，笔者通过四个问题的提出给明学生探究的方向，那在这四个问题的引导下，学生的思维就会围绕椭圆的范围、对称性、顶点与离心率等来进行推理. 譬如在离心率的探究過程中，引导性的问题是椭圆的“圆”或“扁”，学生需要完成的数学探究是用细绳的两端点固定在长短不同的两点（焦点），然后比较所得到的椭圆的圆或扁的不同，再去猜想用什么样的数学关系去描述这种不同，学生会在不同情况的比较中发现不同——a和c的不同，然后用a/c的比值就可以表征椭圆的圆或扁，于是离心率也就出来了. 这个过程中，对椭圆的认识从形到数，是一个典型的逻辑推理与数学抽象的相互作用，最后生成一种模型性认识的过程.

在解决知识构建问题的同时，核心素养的培育如何得到更显性的体现？这是一个需要思考的问题，在上述两个教学环节中，笔者的构想是：在知识生成的过程之后跟学生一起反思，让学生明确哪一部分进行了数学抽象，什么时候进行了逻辑推理，并适当向学生熟悉的其他知识延伸，这样会让他们强化这一认识，从而形成数学学科核心素养的相关因素的能力.

教学想象可以引导学生在数学学习中生成想象

教学想象支撑着教师的教学设计，良好的教学设计可以引导学生在想象的过程中更好地构建数学知识. 要知道，数学知识固然是经由逻辑推理得出的，但学生的想象力其实在此过程中发挥着重要的作用.

一方面，学生的想象影响着其对知识学习过程的判断. 学生在数学学习过程中，其对数学知识的演绎总是有着预期的. 譬如探究椭圆的离心率，其在看到椭圆有所谓的扁圆不同的时候，总对描述椭圆的扁或圆的工具有着一定的预期，这个预期就是由想象支撑的.

另一方面，学生的想象影响着数学知识体系的建立. 数学知识体系的作用不言而喻，对于学生的学习而言，数学知识体系并非完全是逻辑推理的产物，想象在其中发挥着重要的润滑、填补作用. 当然，这种情况下的想象也与学生的直觉相关，也因此直观想象才在数学学习中有着重要的地位.

从这个角度讲，教师的教学想象与学生在学习中的想象是互通的，教师在提升自身教学想象力的同时，对学生在数学学习中想象能力的关注，可以让师生在数学抽象、逻辑推理与数学建模的过程中，很好地实现抽象与形象、推理与直观、建模与应用的融合，这对于核心素养的培育来说，是一个重要且有意义的过程. 而核心素养的培育过程研究，正是当下的一个热点，其现实意义与历史意义并重.