变式在高中数学函数教学中的应用研究

胡继梅

[摘  要] 变式教学是数学教学的传统，在核心素养培育背景下研究变式及其教学，需要进一步丰富变式及教学的含义，将变式上升为数学教学的思想之一，可以促进学生更好地构建数学概念. 函数是高中数学的重要概念，“判断两个函数是否为同一函数”是函数概念构建的基础，也是变式思想充分体现的环节. 通过变式实施教学，不仅可以让学生体验深度理解函数概念的过程，还可以让学生提升自身的数学学习品质.

[关键词] 高中数学;变式;函数教学

高中数学教学中，為了让学生更高效地构建概念，常常会采用变式教学的思想. 在实际教学与研讨的活动中，笔者发现不少同行将变式简单地理解为形式的变换，这会让学生处于一个形式多样且摸不着学习主线的状态. 显然，这不是变式教学的初衷，近年来笔者致力于研究变式的有效运用，目前得出的结论是：变式的运用，应以变式思想准确理解为基础，以学生在变式中的体验为主线实施教学. 现以函数教学中的“判断两个函数是否为同一函数”为例，略谈见解.

变式概念理解及其教学定义

简单来说，变式就是研究对象“正例”的变化. 相应的，变式教学就是学习对象的本质特征不变而非特征发生变化的教学. 变式通常伴随着形式的变换，但形式的变换未必是变式教学. 变式教学在由原上海青浦区在面上实施之后，引起全国的重视，著名教育家顾明远对变式教学的定义是这样的：教学中，用不同形式呈现直观材料或事例，来说明事物的本质属性，或变换事物的非本质特征以突出事物的本质特征，以使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，以对事物形成科学的概念. 这样的教学可称之为变式教学.

基于这样的定义可以从这样几个方面来理解高中数学教学：其一，无论是概念、规律的教学，还是数学应用，都需要考虑通过变式来加深学生对概念、规律、数学思想方法的理解. 其二，变式教学要以学生的思维为中心，真正抓住学生在数学学习中对数学概念本质的把握情况，看他们掌握了哪些本质特征，还有哪些非本质特征，然后在此基础上进行变式教学. 如果考虑到课堂的即时性，这意味着教师大脑中的变式素材必须充足，这样才能在课堂上有的放矢地进行变式. 其三，变式思路要成为学生学习品质提升的组成部分，要让学生在不同事例提供的过程中认识到变式可以提高自己的学习品质，从而可以提升自己的数学成绩. 这种类似于程序性知识的渗透，对于高中生数学学习来说尤为重要.

函数概念教学中变式的运用

函数是高中数学的重要内容，函数概念建立时对概念的准确把握，是理解函数最基本的要求. 其中，“判断两个函数是否为同一函数”作为一种基本题型，是促进学生对函数概念理解的重要方式. 教学经验表明，学生在解决这类问题的时候，往往缺少基于定义域、值域以及对应法则去分析问题的意识，尤其是对对应法则的把握，往往都是比较模糊的. 而要根治这一问题，变式可谓是最好的方法之一. 笔者在教学中，经历了这样的变式环节：

这三组函数的判断，需要学生从定义域的角度依次判断各组是否是同一函数. 这是最基本的操作，其中的变式思想体现在函数的形式不同，而判断依据相同. 其目的在于让学生初步感知判断函数的基本方法. 但在选择这些函数的时候要注意的一点是，仅仅进行这样的训练是不够的，因为这样的变式容易让学生陷入思维定式，以为只需要关注定义域就行. 而在实际教学中，还有另一种情形，即由于很多时候教师不太在意，虽然提供给学生的函数中会有值域和对应法则不同的函数，但由于学生在利用定义域判断时，就已经排除了其中的一些对象，这就导致学生无须利用值域和对应法则进行判断，这看起来很好地完成了一些题目，但学生却没有收到相应的训练效果. 这个时候就需要下一步的操作.

其实如果从变式的角度来看，这类命题的呈现，关键一点就是没有从学生思维顺序的角度判断函数变式的三个基本要素，即此环节的设计中原本应当是抓住定义域、值域和对应法则三个本质特征，改变不同函数表达形式等非本质特征，来让学生认识到无论面对什么形式的函数，在判断是不是同一函数的时候总要抓住定义域、值域和对应法则来进行，这就是对函数概念形成深刻认知的关键.

变式作为数学教学的智慧源

研究中笔者发现，对于变式的理解可以是多元的，其中必须坚持的一点就是：必须将变式作为数学教学的智慧源.

高中数学教学中，学生面临着的“变”的地方太多，有的变在本质特征，有的变在非本质特征，实际上很多高考原题都是变的非本质特征，但这种变式非常隐蔽，往往也是多种变式的综合体. 很多时候学生就是看不懂这些非本质特征的外显，因此都卡在无法窥破数学知识的变化形式上. 所以在数学教学中，让学生不仅去运用知识，还去研究这些知识是通过什么样的变化形式体现的，这其实是让学生站在更高的高度认识变式带来的数学思维的变化. 经验表明，基于这些变化去建构数学概念、规律及其之间的联系，可以让学生形成更好的认知结构，从而提升学生的问题解决能力. 就是从学科核心素养的角度来看，在变式中构建数学学科认识，其实也可以形成一种“关键能力”，于是也就保证了数学学科核心素养的养成.

总之，高中数学教学中，像函数这样的重要概念，要通过有效的变式去促进学生的深刻理解，而教师在此过程中也可以更好地把握所教学生的数学思维，从而实现自身的专业成长.