突破形变干扰，构建基本模型——2017年浙江省杭州市中考数学第10题的解法、变式探究及改进

☉宁夏中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校 张 宁

一、试题呈现

试题：（2017年浙江省杭州市中考数学第10题）如图1，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D，设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）.

A.x-y2=3 B.2x-y2=9

C.3x-y2=15 D.4x-y2=21

试题评析：本题以学生非常熟悉的等腰三角形和线段的垂直平分线为基本图形，主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的边角关系、相似三角形的判定与性质或三角形中位线的性质等知识点，是《义教育教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）规定的最基础最核心的内容之一.本题图形简洁明了，将几何与代数融为一体，蕴含重要的数学思想方法，具有较强的综合性和探索性，是选择题中的压轴题，对学生而言具有一定的挑战性.

二、解法探究

由已知条件可知，△ABC是等腰三角形，底边BC的长是定值，腰AB与AC的长是变量，故点D在BC边上的位置随着腰长的变化而变化，即点D是一个动点，这对求解本题有一定的干扰作用.由于本题是一道选择题，因此可以考虑从点D的特殊位置入手，寻求解决问题的一般方法与策略.

因为tan∠ACB=y，显然要构造直角三角形，所以可以过点E作BC的垂线EF，垂足为F.又垂线段EF的长可以通过相似三角形或三角形中位线的性质求得，故需要过点A作BC的垂线AG，垂足为G.

1.从特殊位置入手.

解法1：如图2，过点A作AG⊥BC，垂足为G.过点E作EF⊥BC，垂足为F.点D与点F重合.

由等腰三角形的性质易知BG=CG=6.由线段垂直平分线的性质易知BD=DE=x.由相似三角形的性质或三角形中位线性质易求得CD=3.所以x+3=12，即x=9.

经检验，只有B选项符合要求，故选B.

解法2：如图3，过点A作AG⊥BC，垂足为G.过点E作EF⊥BC，垂足为F.点D与点C重合.

由等腰三角形的性质易知BG=CG=6.由线段垂直平分线的性质易知BC=CE=12，即x=12.由相似三角形的性质或三角形中位线性质易求得CF=3.

经检验，只有B选项符合要求，故选B.

说明：在△ABC中，易知AC=2CE=24，即当等腰三角形ABC的腰长为24时，点D与点C重合.

2.一般化求解方法.

解法3：过点A作AG⊥BC，垂足为G.过点E作EF⊥BC，垂足为F.连接DE.

如图4，当点D在线段BF上时，由等腰三角形的性质易知BG=CG=6.由线段垂直平分线的性质易知BD=DE=x.由相似三角形的性质或三角形中位线性质易求得CF=3，BF=9.所以DF=BF-BD=9-x.

在Rt△DEF中，由勾股定理知EF2+DF2=DE2，所以（3y）2+（9-x）2=x2，整理得2x-y2=9.

如图5，当点D在线段FC上时，易求得DF=BD-BF=x-9，EF=3y.

在Rt△DEF中，由勾股定理知EF2+DF2=DE2，所以（3y）2+（x-9）2=x2，整理得2x-y2=9.

综上所述，B选项正确.

点评：这种解法通过构造直角三角形，将相关线段集中到Rt△DEF中，从而利用勾股定理得到了y与x之间的函数关系.由此可以看出，在三角形中，求相关线段的长或寻找相关线段之间的关系时，构造直角三角形是常用的解题策略之一，直角三角形是非常重要的几何模型.

从这种解法可以看出，当点D在线段BF上时，DF=9-x；当点D在线段FC上时，DF=x-9.因此DF=|x-9|，故在两个不同的图形中利用勾股定理求得y与x之间的函数关系是一致的.

解法4：如图6，过点A作AG⊥BC，垂足为G.过点E作EF⊥BC，垂足为F.设BE的垂直平分线交BE于点H，过点H作HM⊥BC，垂足为M.

易求得BG=CG=6，CF=3，BF=9.

故选B.

点评：这种解法通过构造相似三角形，将相关线段集中到两个相似的直角三角形中，利用相似三角形的性质得到了y与x之间的函数关系.由此可以看出，在三角形中，求相关线段的长或寻找相关线段之间的关系时，构造相似三角形也是常用的解题策略之一，相似三角形也是重要的几何模型.

从教师的角度出发，可以利用解析法或余弦定理求解.

解法5：（解析法）如图7，以点B为坐标原点，以BC所在的直线为横轴，建立平面直角坐标系.过点A作AG⊥BC，垂足为G.过点E作EF⊥BC，垂足为F.设BE的垂直平分线交BE于点H.

故选B.

解法6：（利用余弦定理求解）如图8，过点A作AG⊥BC，垂足为G.连接DE.

易求得BG=CG=6.由线段垂直平分线的性质易知BD=DE=x，所以CD=12-x. 在Rt△ACG中，y=tan∠ACB=所以AG=6y.由勾股定理可得AC=，所以CE=

在△CDE中，由余弦定理，可得DE2=CD2+CE2-2CD·CE·cos∠ACB，所以x2=（12-x）2+（）2-2（12-x）·.整理得2x-y2=9.

故选B.

三、变式探究

通过对原试题的变式探究，可以进一步认识图形的本质特征，体验几何模型在解决问题中的重要作用.

变式1：如图9，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交BC的延长线于点D，设BD=x，tan∠ACB=y，求y与x之间的函数关系式.

变式2：如图10，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边上一点，AC，线段BE的垂直平分线交直线BC于点D，设BD=x，tan∠ACB=y，求y与x之间的函数关系式.

从改变试题中的基本图形入手，可对试题进一步变式.

在图1中，改变△ABC的形状，使∠ABC=∠ACB=30°，设BE的垂直平分线交AB于点G.作点A关于直线BC的对称点H，连接BH、CH，延长GD，交BH于点F，连接EF，如图11所示.易知四边形ABHC是菱形.

在图11中，隐去线段BC、BE，并适当标注字母，可得到如下变式3.

变式3：（2017年浙江省宁波市中考数学第18题）如图12，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上.则cos∠EFG的值为______.

变式4：如图13，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，AB=AC，BC=12，将平行四边形纸片翻折，使点B落在E处，折痕为FG，点F、G分别在边BC、AB上.

（1）若BF=8，求tan∠ABC的值；

（2）若BF=m，tan∠ABC=n，求m与n之间的函数关系式.

四、试题改进

根据图1，线段BE的垂直平分线交线段BC于点D，这时y与x之间满足关系2x-y2=9.通过变式探究发现，当线段BE的垂直平分线与△ABC的边BC的延长线相交时，结论依然成立.因此，为使试题更具探索性和挑战性，可将试题的文字表述作一些改动，得到如下问题.

问题：在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交BC所在的直线于点D，设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）.

A.x-y2=3 B.2x-y2=9

C.3x-y2=15 D.4x-y2=21

点评：笔者认为，改进后的问题更具严谨性.由于原试题中“如图”的条件限制，点D只能在线段BC上移动，其隐含了对等腰三角形腰长的限制，即624时，点D只能在线段BC的延长线上移动，而试题中又缺乏这样的条件限制，原试题给人一种不完整的感觉.

五、解题反思

1.关注《课程标准》中最基础最核心的内容.

中考所涉及的内容是《课程标准》中最基础最核心的内容.因此，在数学教学活动中，要引导学生关注基础知识，重视基本技能，突出数学思想方法的重要性，使学生获得解决数学问题最基本的活动经验.在教学中要注重知识间的联系，提高学生分析问题与解决问题的能力.在中考复习时，要有意识、有计划地引导学生体会数学知识之间的联系，感受数学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力.

2.重视数学模型，提高解题能力.

解题是数学教学中极具创造性的工作，数学学习离不开解题.波利亚在《数学的发现——对解题的理解、研究和讲授》中认为：“解题是一种本领，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，你只能够靠模仿和实践才能学到它.”“中学数学教学的首要任务就在于加强解题训练.”在几何教学中，平行线、中位线、垂直平分线、角平分线、高线、中线、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等几何图形的基本性质需要学生熟练掌握，这些图形既包括定义、定理的代表图形，也包括数学学习中经常遇到的图形，以及由一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题，这些图形或数学问题都是学生学习解决数学问题的有效模型.在平时的教学中，教师要善于引导学生将所学内容从类型、方法等方面归纳整理，使学生形成解决数学问题的基本策略.当遇到一个几何问题时，可采用相应的策略求解.中考试题是命题专家精心打造的精品课程资源，每一道试题都蕴含着某些特定的数学思想与方法，它对数学教学具有很强的导向作用.教师在教学中要善于引导学生探索一些优秀试题中体现的数学模型的性质，提高学生的解题能力.

3.对试题的变式探究是提高学生解题能力的有效途径.

通过对试题中条件、结论或图形稍作变动，可得到一些具有丰富内涵的新问题.通过对这些新问题的解决，一方面可促使学生理解所学知识，掌握求解同类问题的基本策略，提高学生的应变能力，使学生做到举一反三；另一方面可培养学生思维的灵活性和敏捷性.

六、结束语

以三角形、四边形等图形为基本图形，以线段垂直平分线、轴对称或折叠为背景的中考试题，求解方法较为灵活，具有一定的难度.解决这类问题，一是要从点、线入手，去除不利于解决问题的干扰因素，抓住折叠前后图形之间最本质的位置关系，寻找图形中蕴含的数量关系；二是通过构造直角三角形或相似三角形等基本数学模型，利用直角三角形的边角关系或相似三角形的性质列方程求解.

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.张宁.抓住图形特征 解法自然生成［J］.初中数学教与学，2017（12）.

3.张宁.动态几何问题的常见类型及其求解策略［J］.数理化学习（初中版），2017（12）.

4.张宁.抓住图形结构探寻求解策略——一道全国初中数学联赛试题的解法探究［J］.中学数学（下），2017（9）.

5.张宁.关注基本模型彰显问题本源——勾股定理“总统证法”的几何模型在解竞赛题中的应用［J］.中学数学（下），2017（6）.

6.张宁.追寻本质解法变式演绎精彩——一道竞赛题的解法及变式探究［J］.中学数学（下），2015（4）.

7.张宁.轴对称搭台，相似三角形唱戏——浅谈一道联考试题的分析过程及对讲评设计的两点思考［J］.中学数学（下），2015（1）.

8.［美］乔治·波利亚，著.刘景麟，等，译.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授［M］.北京：科学出版社，2006.W