以稳为先创新意，以和为贵显功力——2017年安徽中考数学试题评析及教学启示

☉安徽阜阳师范学院附属中学 刘国超

☉安徽六安市舒城县第二中学 袁祖洪

2017年安徽中考数学试题题数、题型与往年相同，继续保持中考命题的稳定性和连续性.部分试题，立意新颖，富含数学核心素养渗透，且解法多样，具有一定的创新性、前瞻性.在考查方向上，注重体现基础知识、突出思维能力的特点；在考查内容上，彰显出基础性、应用性和综合性；在知识立意上，考查考生的数学核心素养及分析问题和解决问题的能力.整卷梯度合理，区分度恰当，有层次地考查了学生的核心素养和创新能力，具有良好的教学导向性.

一、试卷的总体情况分析

1.试卷的结构稳定，考点分布合理.

试卷结构稳定，试题以“四基”的考查为主，考点分布合理，这与《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）、《2017年安徽省初中毕业学业考试纲要》（以下简称《考试纲要》）的相关要求保持一致，在坚持对初中数学基本能力（抽象概括能力、推理论证能力、数学运算能力、数据处理能力）、两个意识（应用意识与创新意识）考查的同时，也注重对数学思想与方法的考查，既保证了试题的有效性、选拔性，又充分发挥了中考试题在初中数学教学中的引领作用.

2.考试内容分值比例恰当.

试卷重点考查“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等领域的核心知识点，同时渗透“综合与实践”的相关内容，考点知识覆盖面十分契合《考试纲要》的要求，具体如表1.

3.试题难易适度.

试题呈现由易到难，层次分明，选择、填空、解答三大题型内部又由易到难，层次合理.让绝大部分考生也有较多的得分机会，体现了以人为本、以稳为先的命题理念.如选择题第1～8题，填空题第11、12、13题，解答题第15、16、17、18题，约占60%.较难题考查考生的数学思维能力、数学基本活动经验、数学思想方法，为数学高水平层次考生提供了展示数学素养的机会，如选择题的第9、10题，填空题的第14题，解答题的第19、20、22、23题.

表1 2017年安徽省中考数学试卷总体情况——考试内容分值比例

二、试题特点分析

1.重视“四基”，着重考查数学核心内容.

试题重视测量学生作为一名合格的初中毕业生应具备的数学基础，有的试题通过创设新的情境考查“四基”，有的试题利用数学思维方法和数学语言考查“四基”，达到更多地让学生思考、分析、运用.这与《课程标准》《考试纲要》的相关要求保持一致，其中实数的性质与运算、幂的运算法则、科学记数法、常见几何体的三视图、因式分解、增长率问题、统计与概率、函数图像判断题、找规律、格点作图、列方程解应用题、三角函数应用、圆的计算与证明等考点都是近五年反复考查的，它们约占总量的70%，体现了《课程标准》倡导的“面向全体学生”的基本理念，考生解答这部分题目没有太大的障碍，有利于考生心态的平稳，也有利于考生的正常发挥.

例1 （2017年安徽中考第2题）计算（-a3）2的结果是（ ）.

A.a6B.-a6C.-a5D.a5

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.（-a3）2=a6，选A.本题考查积的乘方与幂的乘方：（ab）n=anbn，（am）n=

例2（2017年安徽中考第3题）如图1，一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它的俯视图为（ ）.

【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形.一个放置在水平实验台上的锥形瓶，它的俯视图为两个同心圆.故选B.本题考查了几何体的主视图、俯视图和左视图，需要学生有一定的空间观念.

例3（2017年安徽中考第12题）因式分解：a2b-4ab+4b=______.

【分析】从原式中提取b，再利用完全平方公式分解即可.a2b-4ab+4b=b（a2-4a+4）=b（a-2）2.本题要求学生掌握提取公因式、利用公式法进行因式分解的基本方法.

例4 （2017年安徽中考第16题）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数和物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问：共有多少人？这个物品的价格是多少？

【分析】根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可.设共有x人，可列方程为：8x-3=7x+4.解得x=7，则8x-3=53（元），即共有7人，这个物品的价格是53元.本题考查一元一次方程的应用，要求学生熟练运用方程解决问题.

2.强化数学思想方法，注重数学思维能力.

安徽中考历来重视数学思想方法的考查，今年也不例外.如考查数形结合思想的有第5、9、10、18题；转化思想则体现在第10、17、22、23题中；而分类讨论思想则在第14题中体现.试题突出对学生思维能力的考查，如第20题将三角形、平行四边形、角的平分线与圆的知识有机结合，考查学生的逻辑推理能力.

例5（2017年安徽中考第14题）在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图2），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图3），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为____cm.

解析：由∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，得AB=10cm，∠ABC=60°.

如图5，平行四边形的边是DE、EG，且DE=EG=10，则平行四边形的周长=40.

【评析】这道填空题考查对称、解直角三角形、空间想象等能力，它的创新在于把问题置于折叠—裁剪—展开的变化之中，渗透了分类讨论思想，问题的设计具有一定的探索性，增加了该题的难度和区分度，使它成为填空题的一个亮点.从考生的答题情况看，该题是填空题中得分率最低的（得满分的只占3.4%），这说明学生动手操作能力和空间想象能力有待加强！

例6（2017年安徽中考第20题）如图6，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.

（1）求证：四边形AECD为平行四边形；

（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE.

证明：（1）由圆周角定理，得∠B=∠E.又∠B=∠D，则∠E=∠D.

由CE∥AD，得∠D+∠ECD=180°，则∠E+∠ECD=180°，则AE∥CD.

则四边形AECD为平行四边形.

（2）如图7，作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N.

由四边形AECD为平行四边形，得AD=CE.又AD=BC，则CE=CB，则OM=ON.又OM⊥BC，ON⊥CE，则CO平分∠BCE.

【评析】本题考查逻辑推理能力，从阅卷的结果看，本题的区分度较好（区分度是0.52），在三角形全等的判定、平行四边形的判定方法、圆的性质、角平分线的判定等方面加以区分，层次分明.

例7（2017年安徽中考第23题）已知正方形ABCD，点M为AB的中点.

（1）如图8，点G为线段CM上一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F.

①求证：BE=CF；

②求证：BE2=BC·CE.

（2）如图9，在边BC上取一点E，满足BE2=BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值.

【分析】（1）①由正方形的性质知AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，∠ABG+∠CBF=90°. 结合∠ABG+∠BAG=90°，可得∠BAG=∠CBF.证△ABE≌△BCF可得.

②由Rt△ABG斜边AB中线知MG=MA=MB，即∠GAM=∠AGM.结合∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，则∠CGE=∠CBG，从而证△CGE∽△CBG，则CG2=BC·CE.由BE=CF=CG可得答案.

（2）如图10，延长AE、DC交于点N.证△CEN∽△BEA，得BE·CN=AB·CE.由AB=BC、BE2=BC·CE，知CN=BE.再由且AM=MB，得FC=CN=BE.设正方形的边长为1，BE=x，根据BE2=BC·CE，求得BE的长，最后由tan∠CBF=可得答案.

暑假里，我决定去河坡挖砂礓。父母很惊讶，但旋即明白了。祖父不干了：天太热，人小，挖那干什么啊？”我的犟劲儿上来了，一定要去。母亲拿来一顶草帽，灌了一壶凉水，给我带上，我拿了一把钊钩，提着提篮，雄纠纠气昂昂地奔赴“战场”。

【评析】本题作为全卷的压轴题，要求学生结合题目条件，综合三角形全等、相似和方程思想的知识进行逻辑推理与计算，有效承载了其应有的选拔和区分功能.

第（1）问第①小题考生比较熟悉，绝大部分考生都能正确寻找条件完成△ABE≌△BCF的证明；第②小题通过三角形相似，不同思维层次的学生添加不同的辅助线，构造出丰富的相似图形，公平、合理地考查学生分析问题和解决问题的能力与数学推理能力.充分展示了学生的数学素养，证明方法灵活多样也是本题的一大特色！

3.适度创新，监测学生的数学素养.

从考点上看，也呈现出一些“新”变化，如第10、16、19题，都蕴含了数学文化与数学史方面的内容.其中，第10题选自“将军饮马”的模型；第16题选自《九章算术》中的“盈不足术”，考查了不常考的一元一次方程应用问题；第19题设计了从“阅读理解”“规律探究”“解决问题”三个方面考查通过几何图形的变换去推理代数等式的问题，意在考查学生的阅读理解能力、几何直观能力、归纳概括能力与分析问题、解决问题的能力，具有较好的区分度，有利于不同层次水平的考生展示自己的数学才能，突出考查学生的数学文化素养，体现了“大稳定、小创新”的命题理念，正所谓“以稳为先创新意”.

例8 （2017年安徽中考第10题）如图11，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）.

解析：设△ABP中AB边上的高是h.

△PAB矩形ABCD=2，则动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上.

【评析】本题是对课本习题“将军饮马”的变式图形，解决此题的关键为找出动点P所在的直线，转化成对称作图，再利用勾股定理即可求出最小值.

例9 （2017年安徽中考第19题）【阅读理解】

在图13所示的三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22；…；第n行n个圆圈中数的和为，即n2.这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2.

【规律探究】

将三角形数阵经两次旋转可得如图14所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1、2、n）发现每个位置上三个圆圈中的数的和均为_______.由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：

3（12+22+32+...+n2）=____.因此，12+22+32+...+n2=____.

【解决问题】（略）

解析：【规律探究】

由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1.

由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）=（2n+1）×（1+2+3+…+n）=（2n+1）×因此，12+22+32+…+n2=

【评析】本题主要考查数字的变化，阅读材料、理解数列求和的具体方法得出规律，并运用规律解决实际问题是解题的关键.

4.关注应用，注意理论联系实际.

例10（2017年安徽中考第17题）如图15，游客在点A处坐缆车出发，沿A-B-D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是线段，且AB=BD=600m，α=75°，β=45°，求DE的长.

（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41）

解析：在Rt△ABC中，AB=600m，∠ABC=75°，则BC=AB·cos75°≈600×0.26≈156（m）.

在Rt△BDF中，∠DBF=45°，则DF=BD·sin45°=600×≈300×1.41≈423（m）.

由四边形BCEF是矩形，得EF=BC=156（m）.

则DE=DF+EF=423+156=579（m）.

答：DE的长为579m.

【评析】本题以现实生活中“山高”为背景设置问题，考查解直角三角形的相关知识.通过问题的解决，从而达到进一步掌握解直角三角形的基本方法、特殊三角函数值及数形相结合的数学思想，彰显了《课程标准》增强数学应用意识的理念.

例11（2017年安徽中考第22题）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表2：

表2

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）；

（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，以及最大利润是多少.

解析：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b.

（2）由题意可得：

W=（x-40）（-2x+200）=-2x2+280x-8000，即W与x之间的函数表达式是W=-2x2+280x-8000.

（3）W=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，40≤x≤80.

当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小.当x=70时，W取得最大值，此时W=1800.

答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元.

【评析】本题突出数学与生活的密切联系，考查一次函数、二次函数的应用及二次函数的最值问题，把数学和现实生活紧密联系起来，引导学生关注生活中的数学，关注身边的数学.

三、学生答题错误原因分析

1.基础知识掌握不扎实.

从试卷中基础题的答题情况看，部分学生对基本概念和基本原理掌握不牢，存在知识盲点.表现在对幂的运算、科学记数法、因式分解的意义、立方根的定义、负整数指数幂等知识理解模糊，特殊角的三角函数值混淆，没有掌握平行四边形的判定方法等.

2.运算能力不过关，计算过程出错.

又如，第22题第（3）小题对二次函数解析式进行配方变形不过关，造成求错二次函数的最大值，平均得分仅为1.33分（本小题满分5分），错误原因是配方出错，也反映了一部分考生做题没有检验的习惯.

3.阅读理解和观察归纳能力欠缺.

本卷第19题是一个找规律的问题，考查学生的阅读能力、观察归纳能力与合情推理能力.先要阅读、观察，发现图形的变换规律，再用数学符号表示出等式的规律.从学生答题情况看，本题失分严重，得分率仅为0.233，出乎命题者的意料，也令很多老师感到震惊，学生解答问题的思维受阻，不能从一条途径转到另一条途径上来，值得我们深刻反思！

4.推理论证不缜密.

考查思维和推理能力是中考数学试卷的主要功能之一，通过阅卷发现出学生在这两方面的能力欠缺，表现为不能从已知条件出发判断结论的真伪，不能对题目中的信息进行整合、转化，不能从复杂的图形中分离出基本图形，几何证明思路混乱等.例如第23题的证明就是如此，考生普遍感觉有些难度（本题满分14分，第一问第一小题4分，实际平均得分为1.80分；第二小题5分，平均得分为0.51分；第二问求tan∠CBF的值是5分，平均得分为0.04分），在所有试题中本题得分最低！特别是最后的两个小题，出现的典型错误有：

（1）题目阅读困难，不理解题意，给出的条件不会用；证明线段等积式的方法不清楚；出现了很多空白卷.

（2）证明线段等积式时，由于线段BE、BC和CE共线，不能对线段进行转换，找不出相似的三角形，也有部分考生证明出相似三角形，但没有证明出来CG=BE；证明过程中有不少学生直接认为∠AGB=90°，作为条件来用而不加以证明.

（3）证明过程烦琐，反映出思维路径不清楚，书写冗长、零乱，超出了答题区域.

四、教学启示

1.研读课标，立足教材，夯实基础，明确教学方向.

中考试题体现了《课程标准》倡导的“对基础知识和基本技能的考查，还要注重考查学生对其中所蕴含的数学本质的理解，考查学生能否在具体情境中合理应用，这为我们的教学指明了方向，《考试纲要》给出了中考知识的具体要求.而教材则是它们的知识载体.中考试卷中的很多问题来源于教材，教材的编写突出基础知识、基本技能、基本数学思想和数学基本活动经验.在教学中应立足于教材，充分利用好教材中的例题、习题，再进行变式拓展，充分发挥教材习题的功能.因此，我们通过学习《课程标准》与《考试纲要》，合理定位、准确把握教学方向，有效达成教学目标.

2.培养学生的观察归纳能力，强化思维能力的培养.

2011年版《课程标准》把原来的“双基”扩充为“四基”，数学活动经验的积累与数学思想方法被提到了新的高度，中考命题也给予了高度的关注.今年安徽中考数学试卷的第9、10、14、19、20、22、23题都体现了这一理念，这些题目对学生思维的深度与广度都有一定的要求.因此，在教学中教师要注重观察归纳能力、抽象能力、想象力和创造力的培养，不以解决问题作为教学的终结点，而应将数学基本活动经验的积累贯穿于全过程中，让学生在学好基础知识、掌握基本技能的同时强化思维能力培养，并通过不断积累运用，内化为自己的知识经验.在渗透数学思想的同时，培养学生独立解决问题的能力始终是数学课堂教学的出发点和落脚点.

3.在图形与几何的教学过程中，注重有条理地表达.

在教学中要重视学生对基础知识的理解，尤其是几何教材中的概念、公理、定理要能理解、会运用.中考几何题多以基础题为主，试题源于教材又异于教材，综合题的原型基本上是教材中的例题或习题，是教材中题目的引申、变形和组合.注重基础和突出思维能力仍是教学的着力点.

数学语言是数学思维和数学交流的工具.阅卷时我们发现有部分考生因看不懂题干而无法做题；考生因解题不规范，证明时语言不准确、思维混乱而失分的现象普遍存在.在教学中，我们要重视细节教学（如书写格式的规范化、证明依据的规范使用等），加强学生数学语言的训练，让学生能够自觉地将文字语言、图形语言、符号语言相互转换，养成有条理地表达的习惯.

总之，明年中考将面临新的机遇与挑战.要注重数学“四基”，提高学生的思维水平，提升应用意识与创新意识，加强教学思想方法的渗透及数学素养的培养，注重开展观察、归纳、概括、类比等理性思维活动，切实提高数学教学的实效性.

1.中华人民共和国.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.安徽省教育科学研究院.2017安徽省初中毕业学业考试纲要［S］.合肥：合肥工业大学出版社，2017.

3.刘国超.注重基础 坚持特色 适度创新 关注素养——2016年安徽省中考数学试卷评析及备考建议［J］.中学数学（下），2016（9）.

4.庞彦福.在考查本质中彰显深度理解——2017年安徽中考数学第14题赏析［J］.中学数学（下），2017（7）.W