一元不等式的图像解法及其应用

☉安徽省宿州市第二中学 柏长胜

中学阶段常见的一元不等式有整式不等式（一次、二次、高次不等式）、分式不等式、指数不等式、对数不等式、三角不等式、抽象不等式、含绝对值的不等式，以及它们之间的组合（或复合）不等式.因为这些不等式都只含一个未知数，故可统一地将这些不等式记为f（x）＞0（或f（x）＜0）.从数的角度看，这些不等式的解法各具特色，多姿多彩；若从函数图像角度分析，它们则是统一的：函数y=f（x）的图像在x轴上方的部分对应的是f（x）＞0，在x轴下方的部分对应的是f（x）＜0.因此，从函数图像的角度可以找到这些一元不等式的统一解法.

一、整式不等式的图像解法

例1 解下列不等式.

（1）x2-2x-3＞0；（2）x（x+2）（x-3）≥0.

解析：（1）方法1：方程x2-2x-3=0的根为x=-1或x=3，作出函数y=x2-2x-3的图像，如图1所示.

当x＜-1或x＞3时，函数y=x2-2x-3的图像在x轴的上方，对应的函数值大于0，故不等式x2-2x-3＞0的解集为｛x|x＜-1或x＞3｝.

图1

图像法解整式不等式的一般流程为：（1）求根，（2）作图，（3）写解集.

因为我们只关注函数图像在x轴上方的函数值为正的不变性（或图像在x轴下方的函数值为负的不变性）及图像与x轴的交点的不变性，而不必关注函数图像的其他性质，因此，只需作出这些函数的拓扑图像（必要时可以省略y轴）即可，如图2所示.观察函数图像还可以发现，连续函数y=f（x）在由其零点分割的定义域内的每一个区域内的函数值符号都是相同的，因此，可以借助特殊点验证法来确定原不等式的解集.

图2

方法2：函数f（x）=x2-2x-3的零点为-1和3，其定义域被分成（-∞，-1），［-1，3］和（3，+∞）三个区域.

因为f（-2）=5＞0，f（0）=-3＜0，f（4）=5＞0，故不等式x2-2x-3＞0的解集为｛x|x＜-1或x＞3｝.

这种解法的一般流程为：（1）求零点，（2）分区间，（3）取值定域，简记为“零点定界，特殊点定域”.用这两种方法可以求出高次整式不等式的解集.

（2）方法1：方程x（x+2）（x-3）=0的根为-2，0，3，作出函数f（x）=x（x+2）（x-3）的拓扑图像，因为x→+∞时，函数f（x）→+∞（或当x＞3时，f（x）＞0），因此，最高项系数为正的高次函数的图像总是从x轴右上方开始（若最高项系数为负，可以先通过不等式同解变形变为正），如图3所示.

图3

故原不等式的解集为｛x|-2≤x≤0或x≥3｝.

方法2：函数f（x）=x（x+2）（x-3）的零点为-1，0和3，其定义域被分成（-∞，-2），［-2，0］，（0，3）和［3，+∞）四个区域.

因为f（-3）＜0，f（-1）=4＞0，f（1）=-6＜0，f（4）＞0，故原不等式的解集为｛x|-2≤x≤0或x≥3｝.

二、分式不等式的图像解法

三、指数与对数不等式的图像解法

指数不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，a≠1）可以等价变形为相应的整式不等式f（x）＞g（x）（a＞1）或f（x）＜g（x）（0＜a＜1），再运用整式不等式的图像解法即可求出原不等式的解集.对数不等式在转化为相应的整式不等式时要注意真数大于0.

四、三角不等式的图像解法

图4

图像法解形如sinx≥a（-1≤a≤1）的不等式的一般流程为：（1）作图（y=sinx与y=a），（2）求交点（一个周期内），（3）写解集（加上周期整数倍）.

五、抽象不等式的图像解法

由抽象函数对应的不等式称为抽象不等式，因为抽象函数无具体的解析式，图像法是解决这类不等式的最佳方法.

例3已知函数f（x）为R上的奇函数，对于任意的两个不相等的正数x1，x2，都有且f（3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为________.

解析：由题意知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函数，故f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（0）=0，f（-3）=-f（3）=0，可作出函数f（x）的拓扑图像，如图5所示.

图5

故不等式xf（x）＜0的解集为｛x|-3＜x＜0或0＜x＜3｝.

图像法解抽象函数不等式的一般流程为：（1）分析性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性等），（2）求零点，（3）作图像，（4）写解集.

六、复合不等式的图像解法

由复合函数对应的不等式称为复合不等式，因为换元法是解决复合函数的根本方法，故换元法配合图像法是解决这类不等式的最佳方法.

解析：令t=（fa），则（ft）≤2，作函数y=（ft）与y=2的图像，如图6所示.它们的交点横坐标为-2，故不等式（ft）≤2的解集为｛t|t≥-2｝，再求出y=（fa）与y=-2的交点横坐标为，故不等式（fa）≥-2的解集为｛a|a≤｝，所以不等式（f（fa））≤2的解集为｛a|a≤｝.

图6

由本例分析可知，图像法解形如f（f（x））＞a的复合不等式的一般流程为：（1）作函数y=f（x）的图像，（2）令f（x）=t，（3）求出外不等式f（t）＞a的解集A，（4）再解内不等式f（x）∈A.

七、含绝对值不等式的图像解法

例5 （2017年全国Ⅰ卷理23）［选修4-5：不等式选讲］已知函数f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含［-1，1］，求a的取值范围.

解析：（1）当a=1时，分别作出函数f（x）=-x2+x+4和g（x）=|x+1|+|x-1|=的图像，如图7所示.

图7

（2）当x∈［-1，1］时，g（x）=2.

所以f（x）≥g（x）的解集包含［-1，1］，等价于当x∈［-1，1］时f（x）≥2，即当x∈［-1，1］时-x2+ax+2≥0.作函数F（x）=-x2+ax+2的图像，如图8所示，所 以得-1≤a≤1.

图8

所以a的取值范围为［-1，1］.

图像法解含绝对值不等式的一般流程为：（1）作图（分段函数），（2）求交点，（3）写解集.

八、图像法解不等式的综合应用举例

例6（2017年全国Ⅰ卷理21）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

图9

解析：（1）略.令F（t）=1-t-ln（tt＞0），因为F′（t）=-1-＜0，所以F（t）在（0，+∞）上单调递减.又F（1）=0，x→0时，函数F（t）→+∞，作出函数F（t）的图像，如图10所示.

由图10可知，不等式1-t-lnt＜0的解集为（1，+∞），所以，即0＜a＜1.

综上，a的取值范围为（0，1）.

另解1：不等式1-t-lnt＜0等价于1-t＜lnt，作函数y=1-t和y=lnt的图像，如图11所示.它们交点的横坐标为1，由图10可知，不等式1-t-lnt＜0的解集为（1，+∞），所以＞1，即0＜a＜1.

综上，a的取值范围为（0，1）.

另解2：令F（t）=1-t-lnt，因为F（t）只有一个零点1，且F（e）=1-e-1＜0，，所以不等式1-t-lnt＜0的解集为（1，+∞）.

综上，a的取值范围为（0，1）.

中学阶段的一元不等式从结构形式来看只要掌握两种类型的解法即可，形如f（x）＞0的不等式，其图像解法的流程为：（1）求零点，（2）作图，（3）写解集；形如f（x）＞g（x）的不等式，其图像解法的流程为：（1）作出两个函数的图像，（2）求交点，（3）写解集.其他类型的不等式都可以等价转化为这两种类型的不等式进行求解.

1.王锡林.一元不等式的统一解法［J］.中学数学研究，2001（4）.

2.郑明改.“不等式”统一的解法［J］.福建中学数学，2007（2）.

3.金迅婴，李书超，王启学.关于不等式的统一解法及其应用［J］.高等函授学报（自然科学版），2003（5）.F

图10

图11