核心素养理念下的数学课堂教学设计*——以“方程的根与函数的零点”为例

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(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江 金华 321004)

●王 芳

(绍兴市高级中学，浙江 绍兴 312000)

(浙江师范大学教师教育学院，浙江 金华 321004)

在《普通高中数学课程标准》的修订工作中，研究者们提出了中学数学教育中需要培养的六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析[1].数学核心素养的培养并不是一蹴而就的，而是学生在参与数学学习活动中逐步形成的.这就要求教师站在素养的高度精心设计每一个课堂活动环节.笔者以“方程的根与函数的零点”为例，阐述核心素养理念下的数学课堂教学设计方法.

1 设计思路

本节课的重点是方程的根与函数零点的关系、零点存在性定理的探究以及应用.由于零点的概念比较简单，因此我们将这部分教学的重心定位在零点存在性定理的探究以及应用.零点存在性定理是一种基本数学思想的体现，根据《数学课程标准》的要求和教材的逻辑体系，其更直接的作用是作为“二分法”这一后续学习内容的重要基础.因此，在教学设计中，我们将定理的应用与定理的探究摆在了同等重要的位置.

本节课的设计思路是：1)通过具体的例子，引导学生分析并体会函数与方程的关系.这里所应用的转化思想正是数学逻辑推理得以实现的重要环节之一.2)由特殊到一般，归纳出方程的根与函数零点以及函数图像与x轴交点的关系.此处特别需要注意的是直观想象与数学抽象之间的辩证处理.3)借助函数图像探究零点存在情况，并且抽象概括得到零点存在性定理.该环节的抽象概括是促进学生形成数学抽象素养的重要途径之一.4)通过灵活运用函数零点存在性定理解决方程根的相关问题，体会函数与方程的数学思想，同时也为“二分法”这一数学运算程序的实现奠定良好的基础.

2 教学过程

2.1 问题导入

1)当y=1时，求对应的x的值；

2)求该函数的值域.

设计意图该问题旨在帮助学生明确认识到：函数的某些问题是可以通过方程加以解决的，借此将原有认知结构中的经验和模糊认识明确化.

问题2求下列方程的根：

1)x2+3x-4=0；

2) lnx+2x-6=0.

分析第1)小题学生能很快地解决.对于第2)小题,学生发现这个看上去并不复杂的方程，无法求解.

设计意图通过这一认知冲突的创设，激起学生解决这一问题的心理需求.

资料介绍方程的发展史:9世纪前后，阿拉伯数学家花拉子米给出了一元二次方程求根的一般方法.16世纪，意大利数学家卡尔达诺给出了一元三次方程的一般解法，随后他的学生费拉里给出了一元四次方程的一般解法.在其后的200多年里，许多数学家致力于5次及以上一元方程的代数求解问题，始终无果.直至19世纪，挪威数学家阿贝尔和法国数学家伽罗瓦先后证明了5次及以上的一元方程不存在一般的代数求根方法.两位年轻数学家的解决方法还促使了以“群论”为基础的《近世代数》这一数学分支的诞生.1930年，失学青年华罗庚因发表论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》，经熊庆来推荐进入清华大学图书馆工作，从而逐渐走上了专业研究数学之路，继而成长为一代数学宗师.

设计意图通过介绍方程的发展史，丰富学生的数学文化知识，激发学生的研究兴趣，同时引出本节课的研究内容：在方程无法求解的情况下，如何判断根的情况.

2.2 零点概念的建构

问题3求方程x2-2x-3=0的根，并写出函数y=x2-2x-3的图像与x轴交点的坐标.

设计意图由具体的一元二次方程和二次函数入手，通过数形结合引导学生发现方程根与函数之间的关系，并从形和数两个角度指出方程的实数根在对应函数中所具有的二重身份.此处二次函数的图像可以不要求具体画出，利用学生知识结构中对这一图像的基本认识即可完成.

零点概念对于函数y=f(x)，使得f(x)=0的实数叫做函数y=f(x)的零点.

练习1判断下列函数是否存在零点？若存在，请求出零点：

1)y=x2-2x；

2)y=x2-2x+1；

3)y=x2-2x+3.

请你总结:二次函数y=ax2+bx+c(其中a≠0)零点存在的条件.

问题4一般方程与其对应函数之间是否也存在这样的关系？

方程的根与函数零点的关系方程f(x)=0存在实数根x0⟺函数f(x)的图像与x轴交于(x0,0)(形)⟺函数f(x)存在零点x0(数).

设计意图练习题的作用是帮助学生巩固零点的概念，大多数学生通过转化成方程求函数的零点.有了这样的基础之后，便可以抽象概括出方程的根与函数零点的关系.

2.3 零点存在性定理的探究

问题5对于函数y=f(x)，其图像是一条连续不断的曲线，且经过点A(2,5)和B(6,-3)，在区间(2,6)内是否存在零点？

问题6对于一般的函数y=f(x)，满足什么条件时，函数在区间(a,b)内必有零点？

分析在问题5中，学生无法用解方程的方法解决抽象函数的零点问题，但原问题可转化为研究图像在区间(2,6)内是否与x轴相交.问题6属于一般性探究，学生可结合前一问题归纳出零点一定存在的条件.

设计意图在这个环节中，引导学生通过抽象概括，用数学语言特别是符号语言表达图像关系，并概括形成零点存在性定理.

零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点.

练习2判断下列说法是否正确：

1)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内不存在零点;

2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点;

3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内存在一个零点.

分析对于这些抽象的问题，可引导学生通过分析函数图像特征举反例进行辨析.对于第3)小题还可以追问：如果条件不变，将结论改为“函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在两个零点”，说法正确吗？追问是想强调函数的零点有可能是其图像与x轴切点的横坐标.

设计意图这类问题有助于学生清晰理解定理的条件与结论，明确认识定理的局限性.而在反复举例与辨析的过程中，充分运用学生头脑中的“趋势性”函数图像，也有助于促进学生数学抽象与直观想象思维模式的有机融合.

2.4 零点存在性定理的应用

例11)求方程lnx+2x-6=0根的个数；

2)若上述方程的一个根在区间(n,n+1)内，求正整数n的值.

分析求解第1)小题的方法有多种，可以拆分为两个函数，观察函数图像交点个数，也可借助几何画板观察函数图像与x轴的交点个数.对于第2)小题，通过计算特殊自变量所对应的函数值，再利用零点存在性定理，结合函数自身的单调性，就可以判断零点的个数以及所在的大致区间(2,3)，即所求n=2.

教师可以追问：如果我们想要让根的范围更小一点可以怎么做？以此为下面的练习题作铺垫.

设计意图例1是呼应导入阶段遗留的问题.一个重要思想是将无法直接求解的方程问题转化为函数零点存在的问题.这一过程促使学生进一步体会方程与函数的思想，并初步体验应用零点存在性定理，通过特殊值估计零点所在的区间.该过程中如何取特殊值、如何判断函数值正负等问题的灵活处理，有助于培养学生的数感及数学运算能力.

分析这一道习题的难度更大，方程是一元四次方程，最多存在4个根，所对应的函数y=f(x)不是一个单调函数，但其图像很显然经过点(0,-1),(1,-1),(2,-1),(4,-1)，因此很自然地把定义域分成5段进行分析.过程中需要学生结合取特殊值和分析函数值大致变化趋势不断缩小零点所在的范围，如当x>4且趋于无穷大时，函数值也是不断变大并趋向于无穷大，这时可以判定在(4,+∞)内只有一个零点.这道题目解决后，教师应该分析这个函数在每一段的大致趋势，或利用几何画板将函数图像画出，再让学生通过直观感知，总结反思自己在取特殊值时应该注意的问题.

设计意图本题是让学生巩固运用零点存在性定理估计方程近似根所在区间的基本方法，进而初步体会按要求缩小这一区间的方法.这一过程需要较强的逻辑推理能力，有利于培养学生优秀的思维品质.而如何缩小范围，直至逼近近似根，正是我们下节课要学习的二分法的基本要义.

2.5 课后习题

除教科书中的习题外，教师补充如下两个练习题：

练习4已知方程ex+x-6=0的根在区间(n,n+1)内，求正整数n的值.

3 教学反思

本节课设计的第二个指导思想是将其作为二分法的起始课，由此确定的一个重难点就是零点存在性定理的应用.二分法作为一种较为实用的运算方法，对培养学生数学运算这一核心素养无疑具有重要的意义.“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，设计运算程序，求得运算结果等.”[2]二分法作为以循环性运算程序为特点的方法，其基础是确定运算起点和运算方向.在本节课中，例1和练习3的设计，就是为了说明如何运用零点存在性定理初步分析求近似根时的运算起点和运算方向.

零点存在性定理的探究是本节课的重点也是难点.笔者认为：在探究过程中既要重视抽象概括的本质性作用，同时也要注意处理好数学抽象与直观想象的辩证关系.这正是本节课设计的第3个指导思想.虽然在零点概念的建构以及存在性定理的探究过程中，需要反复利用数形结合思想，但我们试图更多地借助于学生头脑中的“趋势性”函数图像，而不是画在纸上或黑板上的“明确化”函数图像.正如史宁中教授所指出的：“数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象.”[3]因此，在教学中，对于一些简单而重要的函数图像，不是明确地画下来，而是借助于学生想象中的图像进行分析，这更有利于培养学生的数学抽象这一核心素养.其实，任何数学中的逻辑推理，都既离不开数学抽象，也离不开直观想象的背景.在这里，直观想象的材料有机地成为逻辑推理思维链中的一个片段或一个思维组块.也许这才是“数形结合”教学中应该追求的某种境界.

其实，数学抽象本身往往也离不开直观想象.“只有抽象的东西获得具体事例的支持，实现‘从思维的抽象发展到思维的具体，在思维中再现整体性和具体性’，才能深入认识新概念新思想.”[4]在练习2中，对于这些抽象的问题，如果学生能够用具体的反例加以说明，那就表明他们对定理的条件和结论都有了较深入的理解.在该问题的解决中，还需要不断地经历猜想、证伪、重构、证实的过程.这种从证伪到证实的思维过程，正是数学发展乃至一般人类知识产生和发展的基本规律，让学生适当地经历这种思维过程，必然会深刻地影响着其数学核心素养的形成和发展.

[1] 喻平．发展学生学科核心素养的教学目标与策略[J]．课程·教材·教法,2017,37(1):48-53．

[2] 杭毅，侯正永．基于质量监测的初中学生数学运算发展状况的调查研究[J]．数学教育学报,2017,26(1):25-27．

[3] 史宁中．数学的基本思想[J]．数学通报,2011,50(1):1-9．

[4] 章建跃．高中数学教材落实核心素养的几点思考[J]．课程·教材·教法,2016,36(7):44-49．