函数与导数复习专题*

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(平湖中学,浙江 平湖 314200)

1 考点回顾

函数是高中数学的重要内容，是描述客观世界变化规律的重要数学模型，贯穿了整个高中阶段的数学学习，是高考数学中突出考查的主干知识，在历年浙江省数学高考中都占非常大的比重.导数及其应用深化和提高了函数的学习和研究.

函数的考查内容包括：函数的概念与函数的表示方法；函数的单调性、奇偶性、最值等；基本初等函数——指数函数、对数函数、幂函数；函数与方程的关系；函数的简单应用.导数通常考查3个方面：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性、函数的极值或最值；用导数证明不等式问题及方程等.在数学思想方法上突出考查学生应用函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及转化与化归思想的能力；在数学能力方面关注学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，以及知识迁移到新问题中思考并灵活解决新问题的综合能力，重视学生用数学的眼光观察问题、用数学的思维分析问题、用数学的语言表达问题的综合素养的考查，检测学生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能.

2 典例剖析

2.1 函数的概念及性质

例1存在函数f(x)满足：对任意x∈R,都有 ( )

A.f(sin 2x)=sinxB.f(sin 2x)=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+x)=|x+1|

分析2利用函数周期性和对称性.对于选项A，令t=sin 2x,则t的最小正周期是π，而y=sinx的最小正周期是2π，两者矛盾；对于选项B，令t=sin 2x，则t的最小正周期是π，而y=x2+x不是周期函数，两者矛盾；对于选项C，令t=x2+1，则t关于x的二次函数的对称轴为x=0，而y=|x+1|的对称轴为x=-1，两者矛盾.故选D.

评注本题主要考查函数的概念，及对函数概念的深入理解，包括函数的定义域、值域、周期性等，这些是研究函数的重要依据和载体.

2.2 函数的图像与函数的零点

例2已知函数

其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有3个不同的根，则m的取值范围是______(答案：(3,+∞)).

分析当x>m时，f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2，其顶点为(m,4m-m2)；

当x≤m时，函数f(x)的图像与直线x=m的交点为Q(m,m).

图1 图2

综上所述，m的取值范围为(3,+∞)．

评注1)函数零点常与导数知识结合用于判断函数存在唯一零点等命题．解题时常先判断函数在某区间上存在零点(存在性)，再说明函数在相应区间上单调递增(或单调递减)即可(唯一性)．

2)当题目不是求零点，而是利用零点的个数，或由零点求参数的范围时，一般采用数形结合法．

3)研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点．

4)若函数f(x)在[a,b]上单调，且f(x)的图像是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)<0⟺函数f(x)在[a,b]上只有一个零点．

5)转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．

2.3 函数最值与参数范围问题

例3已知函数f(x)=x-1-alnx．

1)若f(x)≥0，求a的值；

分析1)由f(1)=0知f(x)的最小值为0,对a>0和a<0这两种情况进行分类讨论，得a=1.

2)求m的最小值:一方面，当n=3时，

从而

m≥3．

另一方面，由第1)小题可得，当x>0时，

x-1-lnx≥0，

即

lnx≤x-1，

从而

ln(x+1)≤x.

于是

因此m的最小值为3．

评注此题主要考查用导数研究函数的单调性与最值问题、放缩法研究不等式成立的条件、分类与整合思想、双向验证确定最值的处理方式等．第1)小题容易让人以为是恒成立问题，疑惑为何不是求a的取值范围，结合观察所得特殊值f(1)=0，从而演变为最小值问题.这种设问方式有利有弊，优点在于入手更快，缺点在于过分夸大了观察特殊值的作用.第2)小题利用第1)小题的结论获得不等式，层层推进，拾级而上，水到渠成.

2.4 导数与函数不等式的证明

分析用直线代替曲线，引进中间函数，实现高效过渡.

从而g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，于是

fmin(x)=f(1)=1,

因此

故

f(x)>g(x).

图3

评注证明f(x)>g(x)，从形的角度来看对于任意的一个值x，都有函数y=f(x)的图像在函数y=g(x)图像的上方，因此，两个函数图像中间一定是有空隙的，可以有很多曲线可以从空隙中穿过，也可能会有直线穿过.从数的角度来理解在两个函数中间可以寻找一个中间函数，但是最好有线性函数，对于解决问题效果更明显.本题恰好两个函数图像之间可以穿越若干条直线，并且和y轴垂直的直线也有很多条，因此选择其中一条和y轴垂直的直线作为中间过渡量(如图3所示)，实现两个函数的高效过渡.

3 精题集萃

1.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M-m( )

A.与a有关，且与b有关

B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关

D.与a无关，但与b有关

(2017年浙江省数学高考试题第5题)

B.(0,1]∪[3,+∞)

(2017年山东省数学高考理科试题第10题)

3.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点，则f(x)的极小值为 ( )

A.-1 B.-2e-3C.5e-3D.1

(2017年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第11题)

6.已知函数f(x)=ax-x2-lnx，若函数f(x)存在极值，且所有极值之和小于5+ln 2，则实数a的取值范围是______.

7.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=______.

8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(其中a>0,b∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).

1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

2)证明：b2>3a；

9.已知函数f(x)=-x2+2bx+c，设函数g(x)=|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值为M．

1)若b=2，求M的值；

2)若M≥k对任意的b,c恒成立，试求k的最大值．

1)讨论f(x)的单调性；

参考答案

8.1)解因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以

f′(x)=3x2+2ax+b.

于是

又f(x)有极值，从而f′(x)=0有解，即

Δ=4a2-12b>0,

解得

a>3.

由a>3，得g(a)>0，从而b2>3a.

(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)+a(x1+

x2)2+b(x1+x2)-2ax1x2+2,

f(x1)+f(x2)=

于是

2a3-63a-54≤0,

即

2a3-12a2+12a2-63a-54≤0，

故

(a-6)(2a2+12a+9)≤0.

综上所述，a∈(3,6].

9.解1)当b=2时，f(x)在区间[-1,1]上是增函数，则

M=max{g(-1),g(1)}.

又因为g(-1)=|-5+c|,g(1)=|3+c|，所以

2)利用绝对值不等式.由题意得f(0)=c,f(1)=-1+2b+c,f(-1)=-1-2b+c,从而

2f(0)-[f(1)+f(-1)]=2,

即 2= |2f(0)-[f(1)+f(-1)]|≤

2|f(0)|+|f(1)|+|f(-1)|≤4M,

于是

当且仅当

10.1)解f(x)的定义域为(0,+∞)，求导得

①当a≤0时，由f′(x)>0，得01,从而f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1,+∞).

②当0

③当a=2时，

从而f(x)的单调递增区间为(0,+∞).

2)证明当a=1时，

因为x∈[1,2],lnx

h(t)=-2t3+t2+3t=-t(t+1)(2t-3),

因此不等式成立.