全国卷高考命题中的一个热点问题*

●

(南头中学,广东 深圳 518052)

题目利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：ex>1+x,其中x≠0.

(人教A版《数学(选修2-2)》第32页习题1.3B组第1题第3)小题)

这个不等式的证明很容易，只需构造函数

f(x)=ex-x-1(其中x∈R)，

由f′(x)=ex-1知：当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0，故当x=0时，f(x)min=f(0)=0，即当x∈R时，f(x)≥f(0)，即ex-x-1≥0，亦即ex≥x+1(当且仅当x=0时,等号成立).

1 不等式ex>1+x(其中x≠0)的背景与演绎

本题的背景是泰勒展开式.泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒,他主要以泰勒公式和泰勒级数出名，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式.

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式,是用若干项(无限或者有限)连加式(级数)来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得.

对于函数f(x)=ex，它在x=0处的泰勒展开式如下：

上式也叫ex的麦克劳林展开式.当0

(3)

综合式(2)和式(3)，便得

(4)

注意上述式(1)和式(2)均是在0

事实上，不等式(1)可以加强为如下两个不等式

ex≥1+x(其中x∈R),(5)

(6)

式(4)可以加强为

(其中x>-1),(7)

当且仅当x=0时，式(5)～(7)中的等号成立.

不等式(5)和不等式(6)的几何解释如图1所示，不等式(7)的几何解释如图2所示[1-2].

图1 图2

不等式ex>1+x(其中x≠0)的深刻内涵和重要作用，可以通过图3中的演绎变换中窥见一斑[3].

图3

2 不等式ex≥1+x(当且仅当x=0时，等号成立)演绎高考题

方法1变形.

由不等式(5),知ex-1≥x恒成立，若ex-1≥ax对于x≥0恒成立，则a≤1，于是当x≥0时，x(ex-1-ax)≥0恒成立，故a≤1.

据此，可编拟2010年全国数学高考课标卷Ⅰ文科第21题第2)小题：

例1设函数f(x)=x(ex-1)-ax2，若当x≥0时,f(x)≥0，求a的取值范围.

方法2替换、变形.

在不等式ex≥1+x中，作替换x→-x，可得

e-x≥1-x，

即

(1-x)ex≤1,

上式两边同时乘以1+x(其中x≥0)，可得

(1-x2)ex≤1+x.

可见，当x≥0时，(1-x2)ex≤ax+1恒成立，则

ax+1≥x+1，

即a≥1.

据此，可编拟2017年全国数学高考卷Ⅱ文科第21题第2)小题：

例2已知函数f(x)=(1-x2)ex，当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

方法3取倒数、变形.

当x>-1时，由ex≥1+x>0，两边取倒数可得

从而

即

据此，可编拟2010年全国数学高考大纲卷Ⅱ理科第22题第1)小题：

方法4演绎、变换.

由于ex≥1+x(其中x∈R)(当且仅当x=0时,等号成立)，若令x>0，作替换x→x-1得ex-1≥x,即ex≥ex,则两边取倒数，可得

(8)

当且仅当x=1时,等号成立.进一步由ex-1≥x,两边取倒数，得

(9)

上式两边取以e为底的对数,得

据此，可编拟2014年全国数学高考卷Ⅰ理科第21题：

1)求a,b；

2)证明：f(x)>1.

注1由第1)小题知a=1,b=2，从而

CMV感染是艾滋病患者最常见的疱疹病毒感染，可分为CMV血症和器官受累的CMV病。CMV可侵犯患者多个器官系统，包括眼睛、肺、消化系统、中枢神经系统等，其中CMV视网膜脉络膜炎是艾滋病患者最常见的CMV感染。

注2由本题改编的问题还有2015年全国高中数学联赛陕西省预赛题第二试第5题：

例5已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3,其中a∈R.

3 不等式ln(x+1)-1)演绎高考题

方法1直接引用.

不等式ln(1+x)≤x表明,函数不等式f(x)=ln(1+x)-x≤0恒成立(当且仅当x=0时，等号成立).

据此，可编拟2004年全国数学高考卷Ⅱ理科第22题第1)小题：

例6已知函数f(x)=ln(1+x)-x，求函数f(x)的最大值.

方法2赋值、累加.

一方面，

即

另一方面，当n≥3时，

综上所述，当n≥3时,

据此，可编拟2017年全国数学高考卷Ⅲ理科第21第2)小题:

方法3嵌入系数.

由式(7)，可知ln(1+x)≤x(其中x>-1)，于是

lnx≤x-1(其中x>0)，

据此，可编拟2017年全国数学高考卷Ⅲ理科第21题第1)小题:

例8已知函数f(x)=x-1-alnx，若f(x)≥0，求a的值.

4 不等式演绎高考题

方法1替换、变形.

据此，可编拟2016年全国数学高考卷Ⅲ文科第21题第2)小题:

方法2变形、传递.

一方面，由式(1)知

ex≥1+x(其中x∈R),

由式(6)知

从而

x+1≥ln(x+2),

于是 ex≥1+x≥ln(x+2).

(11)

在式(11)中，当x=0时，ex≥1+x取到等号；当x=-1时，1+x≥ln(x+2)等号成立，因此

ex>ln(x+2)，

即

ex-ln(x+2)>0.

另一方面，已知当m≤2时，

ln(x+2)≥ln(x+m)，

故当m≤2时,

ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)>0.

据此,可编拟2013年全国数学高考卷Ⅱ理科第21题第2)小题：

例10已知函数f(x)=ex-ln(x+m)，求证：当m≤2时，f(x)>0.

方法3变形、嵌入.

据此，可编拟2006年全国数学高考卷Ⅱ理科第20题:

例11设函数f(x)=(1+x)ln(1+x)，若对所有的x≥0都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围.

方法4综合、演绎.

(其中x>0)，(12)

当且仅当x=1时，等号成立.

在不等式(12)中，先分别乘以x+1，得

再分别加上1-x，得

(13)

令f(x)=(x+1)lnx-x+1.一方面，由不等式(13)知

当且仅当x=1时,等号成立.若x≥1，则

若0

注意到当x>0时，

从而

(x-1)f(x)≥0.

另一方面，由不等式(12)得

lnx-x≤-1，

即lnx-x的最大值为-1.若假定lnx-x-a≤0恒成立，则

a≥(lnx-x)max=-1.

由lnx-x-a≤0,得

x(lnx-x-a)≤0，

即

xlnx≤x2+ax,

从而

xlnx+1≤x2+ax+1.

注意到xlnx+1=xf′(x)，因此，若xf′(x)≤x2+ax+1恒成立，则a≥-1.

据此，可编拟2010年全国数学高考卷Ⅰ理科第20题：

例12已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.

1)若xf′(x)≤x2+ax+1，求a的取值范围；

2)证明：(x-1)f(x)≥0.

[1] 方亚斌.用ex的幂级数展开式编演绎高考题[J].数学通讯，2012(2):50-53.

[2] 方亚斌.源于世界数学名题的高考题赏析[M].杭州：浙江大学出版社,2017.

[3] 方亚斌.源于课本的高考题数学题赏析[M].杭州：浙江大学出版社,2017.