思维的语言 表达的工具*——“集合与常用逻辑用语、复数”高考复习专题

●

(台州市第一中学,浙江 台州 318000)

1 考点回顾

1.1 集合、常用逻辑用语

集合、常用逻辑用语是高中数学的基本语言，是数学表达与交流的工具，是数学思维的语言．《课标》要求学生能够使用集合的语言或常用逻辑用语简洁准确地表达数学对象，进行数学推理，提升抽象能力，提升交流的逻辑性与准确性，促进数学抽象和逻辑推理素养的发展．显然它们是高中数学最基础也是必考的内容之一，命题的特点还是以直接、基础、单一、稳定为主．

集合内容的考查要点及应对策略：1)集合的表示：研究一个集合，首先要注意元素的含义；2)集合间的关系：关键是将两个集合之间的关系转化为元素之间的关系；3)集合的交、并、补运算：这类问题一般会结合方程、不等式、函数或其他一些数学知识，处理集合之间的关系以及集合运算问题要重视运用数轴与韦恩图帮助解决问题，重视分类思想与数形结合思想；4)以集合知识为平台，综合高中数学其他知识、形式上有所创新的问题：突出体现集合是数学语言与工具的特征，有一定的思维性与思想性，需要较好的分析问题、解决问题的能力和转化化归的能力.

常用逻辑用语的考查要点及应对策略：1)4种命题及其关系：特别要注意区别否命题与命题的否定，互为逆否命题等价性的运用(反证法)；2)充分条件与必要条件：常作为载体考查其他知识与方法，是高考的重点内容之一，解决此类问题的主要方法有定义法与集合法.常用逻辑用语还常作为简化解题过程的基本思想和策略.

集合与常用逻辑用语这两部分知识的工具性与基础性，决定了它们应用的广泛性，学习掌握这两部分内容的关键是善于运用集合的语言理解数学问题、善于运用逻辑的语言表达数学思维.

1.2 复数

复数内容的考查要点及应对策略：1)复数的相关概念(虚数单位、复数的实部与虚部、复数的模、共轭复数)：关键是认清实部与虚部，把复数问题转化为实数问题处理；2)复数的几何意义：注意实部与虚部在坐标平面上的几何意义；3)复数的四则运算：类比多项式运算，重视除法的运算规则.由于复数内容的考查一般只有一个考题，因此经常出现复数的概念、几何意义和四则运算融合在一起的综合性问题.

2 典题剖析

A.(1,2) B.(1,2]

C.(-2,1) D.[-2,1)

(2017年山东省数学高考理科试题第1题)

图1

分析函数的定义域是一个数的集合.由4-x2≥0可求得-2≤x≤2；由1-x>0可求得x<1，如图1，可利用数轴求得：

A∩B= {x|-2≤x≤2}∩{x|x<1}=

{x|-2≤x<1}.

故选D.

评注本题主要考查运用集合语言表示函数的定义域、运用数轴处理集合的运算、用集合语言表达数学对象以及集合运算，这是高中数学双基中的基础知识和高考必考知识点之一.这类问题经常与求函数定义域、值域、解不等式等知识相结合，一般需将所给集合化简后再计算，计算过程常借助数轴或韦恩图进行处理，体现数形结合思想.

例2设A,B是有限集，定义：d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集A，B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A,B,C，有d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)，则 ( )

A．命题①和命题②都成立

B．命题①和命题②都不成立

C．命题①成立，命题②不成立

D．命题①不成立，命题②成立

(2015年浙江省数学高考理科试题第6题)

分析根据题目中的定义，对于命题①，借助韦恩图我们知道:card(A∪B)≥card(A∩B)当且仅当A=B时等号成立，因此命题①成立.

对于命题②，因为

d(A,C)= card(A∪C)-card(A∩C)=

card(A)+card(C)-2card(A∩C)，

d(A,B)+d(B,C)=card(A∪B)-card(A∩B)+

card(B∪C)-card(B∩C)=

card(A)+card(B)-2card(A∩B)+

card(B)+card(C)-2card(B∩C)=

card(A)+2card(B)+card(C)-

2card(A∩B)-2card(B∩C),

又d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)，所以

card(A∩C)≥card(A∩B)+card(B∩C)-card(B),

借助韦恩图，上式显然成立.

评注本题取材于人教A版《数学(必修1)》的“阅读与思考”，并以此为背景利用新定义构建的新问题，有创新性，也有一定的难度.解决此问题的关键是理解题意并善于借用韦恩图(也可利用容斥原理)等工具来分析问题解决问题.

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

(2017年天津市数学高考理科试题第4题)

评注本题属于充要条件的判断问题，是充分条件与必要条件知识考查的主要方式.从集合的角度看，若A⊆B，则A是B的充分条件;若B⊆A，则A是B的必要条件;若A=B，则A是B的充要条件;若A是B的真子集，则A是B的充分非必要条件;若B是A的真子集，则A是B的必要非充分条件．

图2

分析点P是椭圆上的点，该问题要证明的结论是直线l与椭圆相切.先求出直线方程，然后将其与椭圆方程联立方程组，消元可得一元二次方程，利用判别式Δ=0可以证明，但运算量大且易算错.

而

矛盾.故假设错误，即l与椭圆只有唯一的公共点.

评注反证法是“正难则反”转化思想的体现，反证法是从结论的反面出发来考虑的，实际上是证明原命题的逆否命题.它的一般步骤是：1)否定结论；2)推证矛盾；3)肯定原命题成立.适宜反证法证明的命题，经常在语句中带有一些特征词，如至少、至多、唯一等.

例5已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(其中i是虚数单位)，则a2+b2=______，ab=______．

(2017年浙江省数学高考试题第12题)

分析由题意可得a2-b2+2abi=3+4i，则

解得

故

a2+b2=5,ab=2.

评注本题重点考查复数相等和复数的基本运算.首先要切实掌握复数四则运算的规则，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部、虚部、模、共轭复数等．

例6已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 ( )

A.(-3,1) B.(-1,3)

C.(1,+∞) D.(-∞,-3)

(2016年全国数学高考新课标Ⅱ理科试题第1题)

分析要使复数z对应的点在第四象限，则z的实部与虚部必须满足

从而-3

评注本题考查复数的几何意义.复数的几何意义是复数内容的重要知识点，是高考常考的考点之一.

3 精题集萃

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合A∩CUB( )

A.{2,5} B.{3,6}

C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}

2．设M,P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M-P={x|x∈M,且x∉P}，则M-(M-P)= ( )

A．PB．M∩PC．M∪PD．M

3．设z1，z2∈C，则“z1,z2中至少有一个数是虚数”是“z1-z2是虚数”的 ( )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

4.设z是复数，|z-i|≤2(其中i是虚数单位)，则|z|的最大值是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

5.已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0，l2:x+ay+2=0,则“l1∥l2”是“a=-1”的 ( )

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

6．已知向量a,b为非零向量，则“(xa+yb)⊥(2ya-xb)对任意非零实数x，y都成立”是“a⊥b”的 ( )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

7.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α,则“m∥β”是“α∥β”的 ( )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

9．下列说法正确的是 ( )

A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”

B．{an}为等比数列，则“a1

C．若a,b∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分非必要条件

11.设S为复数集C的非空子集，若对任意x,y∈S，都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集，下列命题：

①集合S={a+bi|其中a,b为整数，i为虚数单位}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集.

其中的真命题是______(写出所有真命题的序号).

参考答案

1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 7.B

8.A 9.D 10.1 11.①②