从一道题看绝对值符号的处理思路探析

陈传春

摘要：含绝对值的问题，是高中数学试题中一类非常典型的试题，其处理的核心是围绕如何巧处理绝对值这个符号.本文以一道含绝对值的高考模拟试题为例，探析绝对值问题的处理思路和方法.

关键词：高中数学； 绝对值； 思路探析

题目函数f1（x）=ex-2a+1，f2（x）=ex-a+1，若x∈a，+∞时，f2（x）≥f1（x），求a的取值范围.

分析由题意f2（x）≥f1（x）对任意x∈a，+∞恒成立，ex-a+1≥ex-2a+1，借助指数函数的y=ex单调性，即x-a+1≥x-2a+1对任意x∈a，+∞恒成立.

关键：如何认识和处理上式中的绝对值符号

思路1考虑绝对值的意义

解法1所谓代数意义就是a=a，a≥0-a，a<0 ，于是有了下面的解法：因为x∈[a，+∞），所以x-a=x-a，所以原不等式转化为x-2a+1≤x-a+1，去掉这个x-2a+1绝对值，应考虑2a-1与a的大小，所以令2a-1=a得到a=1，所以

①当a≥1时，此时a≤2a-1，

（i）， a≤x≤2a-1时，x-a+1≥x-2a+1.即为3a-2≤2x∈2a，4a-2，所以3a-2≤2a，所以a≤2，所以1≤a≤2.

（ii）， x≥2a-1时，x-a+1≥x-2a+1.即为-a≤0恒成立.

综合（i），（ii）可得1≤a≤2.

②当a<1时，此时a>2a-1，x-a+1≥x-2a+1.即为-a≤0，即a≥0，所以0≤a<1.

综上所述，a的取值范围是0，2

解法2几何意义，所谓几何意义就是a-b表示数轴上坐标为a，b的两点之间的距离，于是有了下面的解法：x-a+1≥x-2a+1可转化为x-2a+1-x-a≤1，x-2a+1-x-a表示数轴上坐标为x的点到坐标分别为2a-1和a的两点距离之差，无论2a-1和a的大小如何，x-2a+1-x-a∈-a-1，a-1，x-2a+1-x-a≤1成立只需a-1≤1成立，解得a的取值范围是0，2.

思路2考虑平方去绝对值

解法3优先部分考虑绝对值的意义.原不等式转化为x-2a+1≤x-a+1，因为x∈a，+∞，不等式的左右两侧都是非负的，可以对不等式平方，整理后得到2ax≥3a2-2a※，①当a>0，※可转化为3a-2≤2x∈2a，+∞，所以3a-2≤2a，得到0

综合①②③可知a的取值范围是0，2.

值得注意的是：平方要注意不等式两侧非负.

思路3考虑绝对值的等价转化

解法4形如f（x）≤g（x）可转化为-g（x）≤f（x）≤g（x）；形如f（x）≥g（x）可转化f（x）≥g（x）或者f（x）≤-g（x）.于是有了下面的解法：在优先部分考虑绝对值的意义时，原不等式转化为x-2a+1≤x-a+1，利用等價转化进一步转化为：

a-x-1≤x-2a+1≤x-a+1.所以3a-2≤2x-a≤0 对任意x∈a，+∞恒成立，所以3a-2≤2aa≥0 解的a的取值范围是0，2.

思路4考虑绝对值进行放缩

解法5对于任意实数a，b都有a-b≤a±b≤a+b，于是有了下面的解法.对于x-2a+1-x-a≤1，x-2a+1-x-a≤x-2a+1-（x-a）=a-1.

所以只需a-1≤1成立，解得a的取值范围是0，2.

总之，从以上问题可以看出，绝对值的问题无外乎上面几种常见处理思路，平常遇到绝对值的问题，这当中涉及的主要数学思想和方法有：分类讨论，转化与化归，数形结合，分离参数等，自己要多加体会不同的思路和注意点，才能理解这几种思路的内涵和本质.为有效解决绝对值问题提供广阔的空间.

参考文献：

[1] 张文海 一类绝对值函数最值的解题思路研究[J].中学数学教学参考，2016（15）：31.

[2]温浩然 含两个及以上绝对值不等式的数轴解法[J].中学数学教学参考 ，2015（27）：41.