例析高考数学中线性规划问题的几何意义

苏勇 黄克昌

摘要：线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然的融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致，更使数学中优化思想和数形结合思想得到充分的体现.

关键词：线性规划；约束条件；目标函数最值；几何意义

线性规划是《普通高中数学课程标准（实验）》的必考内容，出自教材必修5.线性规划是数学应用的一个重要内容，其蕴涵的优化、数形结合思想方法是数学中的基本思想方法.线性规划在教材中的地位决定了它在高考试卷中的地位，所以在高考中多以选择题、填空题形式出现，有时也会出现解答题，由于它的应用十分广泛，所以几乎每年都考.笔者对近年的线性规划试题在考查方式方法等方面进行了分析归纳和总结.

一、线性目标函数关系z=ax+by“截距型”最值問题

2017年高考理科数学中，全国卷和自主命题省（市、区）几乎都是考查以此类目标函数z=ax+by“截距型”的简单的线性规划问题，求此类目标函数最值的步骤为：1、作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；2、平移：将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；3、求值：解方程组求出对应点坐标（即最优解），带入目标函数，即可求出最值.求这类目标函数的最值方法一般是将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：y=-abx+zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值.

例1（2017课标全国Ⅰ，第14题）设x，y满足约束条件x+2y≤1，2x+y≥-1，x-y≤0，

则z=3x-2y的最小值为.

解析由约束条件作出可行域，如图1阴影部分所示.平移直线3x-2y=0，由目标函数可知，平行直线y=32x-z2经过点A时，直线在y轴截距最大，z取得最小值，又由x+2y=1，2x+y=-1 解得x=-1，y=-1， 即A（-1，1），所以目标函数最小值为：zmin=3×（-1）-2×1=-5.

例2（2017课标全国Ⅱ，第5题）设x，y满足约束条件2x+3y-3≤0，2x-3y+3≥0，y+3≥0， 则z=2x+y的最小值是（）.

A.-15B.-9C.1D.9

解析由约束条件作出可行域，如图2阴影部分所示.作出直线l0：y=-2x平移直线l0，由y=-2x+z，当平行直线经过点A时，目标函数取得最小值.

由2x-3y+3=0，y+3=0， 解得x=-6y=-3 .

即A（-6，-3），因此zmin=2×（-6）+（-3）=-15，故选A.

例3（2017课标全国Ⅲ，第13题）若x，y满足约束条件x-y≥0，x+y-2≤0，y≥0， 则z=3x-4y的最小值为.

解析由约束条件作出可行域，如图3阴影部分所示.作出直线l0：3x-4y=0平移直线l0，由y=34x-z4，当平行直线经过点A时，直线在y轴截距最大，目标函数取得最小值.

由x+y-2=0，y=x， 解得x=1y=1 .

即A（1，1），因此zmin=3×1-4×1=-1.

例4（2017北京，第4题）若x，y满足x≤3，x+y≥2，y≤x， 则x+2y的最大值为（）.

A.1B.3C.5D.9

解析由约束条件作出可行域，如图4阴影部分所示.设z=x+2y，作出直线l0：x+2y=0平移直线l0，由y=-x2+z2，当平行直线经过点A时，目标函数取得最大值.

由x=3，y=x， 解得x=3y=3 .

即A（3，3），因此zmax=3+2×3=9，故选D.

例5（2017天津，第2题）设变量x，y满足约束条件2x+y≥0，x+2y-2≥0，x≤0，y≤3， 则目标函数z=x+y的最大值是（）.

A.23B.1C.32D.3

解析由约束条件作出可行域，如图5阴影部分所示.平移直线x+y=0，由目标函数可知，平行直线y=-x+z经过点A（0，3）时，直线在y轴截距最大，z取得最大值，所以 zmax=0+3=3，故选D.

例6（2017浙江，第4题）若x，y满足约束条件x≥0，x+y-3≥0，x-2y≤0， 则z=x+2y的取值范围是（）.

A.0，6B.0，4

C.6，+∞D.4，+∞

解析由约束条件作出可行域，如图6阴影部分所示.

平移直线y=-x2，由目标函数y=-x2+z2可知当直线经过点A（2，1）时，zmin=2+2×1=4，而z不存在最大值.故选D.

例7（2017山东，第4题）已知x，y满足约束条件x-y+3≤0，3x+y+5≤0，x+3≥0， 则z=x+2y的最大值是（）.

A.0B.2C.5D.6

解析由约束条件作出可行域，如图7阴影部分所示.作出直线l0：x+2y=0平移直线l0，由y=-x2+z2，当平行直线经过点A时，目标函数取得最大值.

由3x+y+5=0，x+3=0， 解得x=-3y=4 .

即A（-3，4），因此zmax=-3+2×4=5，故选C.

二、非线性目标关系z=（x-a）2+（y-b）2“距离型”最值问题

此类目标函数的最值问题，可转化为求可行域内的点（x，y）到点（a，b）的距离的平方的最值问题.

例8（2016江苏，第12题）已知实数x，y满足x-2y+4≥0，2x+y-2≥0，3x-y-3≤0，则x2+y2的取值范围是.

解析画出满足约束条件的可行域，如图8阴影部分所示.由x-2y+4=0，3x-y-3=0， 得A（2，3），而x2+y2表示的几何意义是可行域内的点（x，y）到原点（0，0）的距离的平方，则可得（x2+y2）max=22+32=13，（x2+y2）min=d2=252=45，其中d表示点（0，0）到直线2x+y-2=0的距离，所以的取值范围为45，13.

例9（2016山东，第4题）若变量x，y满足x+y≤2，2x-3y≤9x≥0，，则的x2+y2最大值是（）.

A.4B.9C.10D.12

解析作出不等式组所表示的平面区域，如图9阴影部分所示，x2+y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图可知平面区域内的点A（3，-1）到原点的距离最大，所以x2+y2的最大值是10.

三、非线性目标关系型z=y-bx-a“斜率型”最值问题

此类目标函数的最值问题，可转化为求可行域内的点（x，y）与点（a，b）连线的斜率的最值问题.

例10（2015课标Ⅰ，第15题）若x，y满足约束条件x-1≥0，x-y≤0，x+y-4≤0， 则yx的最大值为.

解析由约束条件画出可行域，如图10阴影部分所示 yx的几何意义是可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，所以yx的最大值即为直线OA的斜率，又由x-1=0，x+y-4=0， 得点A的坐标为（1，3），则yxmax=kOA=3.

例11已知x，y满足不等式组x≥0，x-y≤0，4x+3y≤12， 则z=y-1x+1的最大值为.

解析由约束条件画出可行域，如图11所示可行域为三角形ABC及其内部，其中A（0，0），B（0，4），C（127，127）y-1x+1表示可行域内点P（x，y）与点M（-1，1）连线的斜率，其最大值为kBM=4-10+1=3.

对于线性规划问题，关键是要正确的作出可行域，并充分理解目标函数的几何意义，且分清常规的“截距型”、“距离型”及“斜率型”是解题的关键，而从2017年高考来看，简单线性规划中“截距型”应该可以说是重点中之重点，所以在高考复习的时候应熟练的掌握好应用好.

参考文献：

[1]李志春百汇大课堂高考总复习数学[M].西安：世界图书出版西安公司，2009.

[2]曲一线高考真题2017理数详解[M].北京：首都师范大学，教育科学出版社，2017.endprint