寻根溯源，谈向量复习“两法”

金雅芳

摘要：向量作为初等数学的重要内容，兼具了代数与几何的“双重特性”，故利用向量工具编制试题每年均会受到高考命题者的青睐.从浙江卷2016年第15题向量试题的立意看，向量与其他知识的结合仍是考查重点，但与以往不同的是加入元素“绝对值”，本文以此题为例分析如何运用“头吃尾”和“解析化”两种策略来解决向量问题.

關键词：向量；特征；推理转化

一、引题

（2016年浙江数学理15）已知向量a→，b→，a→=1，b→=2，若对任意单位向量e→，均有a→·e→+b→·e→≤6，则a→·b→的最大值为.

解法1（a→+b→）·e→≤a→·e→+b→·e→≤6.

即（a→+b→）·e→≤6.

只需（a→+b→）·e→max≤6.

又因为（a→+b→）·e→的最大值为a→+b→，

即a→+b→≤6a→2+2a→·b→+b→2≤6.

a→·b→≤12，即a→·b→的最大值为12.

解法2设=α，=β，

可得=α-β，

由题可得cosα+2cosβ≤6.①

不妨设sinα+2sinβ=t.②

由①2+②2可得：5+4cos（α-β≤6+t2对一切α，β均成立，

故5+4cos（α-β）≤（6+t2）min5+4cos（α-β≤6.

所以cos（α-β）≤14.

所以a→·b→=2cos（α-β）≤12.

解法3不妨设a→=（1，0），b→=（2cosθ，2sinθ），e→=（cosα，sinα）.

由题可得：cosα+2cos（θ-α）≤6.

所以cosα+2cos（θ-α）≤6.

所以（1+2cosθ）cosα+2sinθsinα≤6.

所以（1+2cosθ）2+（2sinθ）2sin（α+φ）≤6对一切α均成立.

所以[（1+2cosθ）2+（2sinθ）2sin（α+φ）]max≤6.

故（1+2cosθ）2+（2sinθ）2≤6cosθ≤14.

即a→·b→=2cosθ≤12.

从试题的编制来看，考查的点无外乎就是向量的数量积、模及夹角，但入口比较宽、方法较多，加上个别同学对题意的理解不够，对绝对值的处置不当，导致产生错误的结论.介于此笔者认为，我们日常教学也应重视对符号语言的诠释，尤其是课本中曾出现的符号，一定要让学生从本质上了解并理解他们.在向量的复习时应着眼基础，即立足基本定理；应放眼图形，即紧抓图形特征，这样才能做活试题.

浙江卷高考考查中向量试题经常作为小题出现，但事实是“小题”不小，今年的向量试题又作为拉分点，区分度很大，要引起重视.解决此类问题基本思路利用向量的加减运算（“头吃尾”）处理，或是将向量问题“解析化”处理，利用坐标进行代数转化，从而将推理转化为代数运算.

二、重视基础，做好“头吃尾”文章

从向量的运算公式看，AB+BC=AC，即后一个向量的起始点“吃掉”前一个向量的终点.在解题过程中，巧妙利用分拆

AC=AB+BC=AO+OB=…，进而找寻题中点与点之间的关系，化繁为简.

例1如图1，已知：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=2，AD=4，AA1=4，O为对角线AC1的中点，过O的直线与长方体表面交于两点M，N，P为长方体表面上的动点，则PM·PN的取值范围是.

解析本题是动态问题，从题中已知条件看，P，M，N三个均为动点，但考虑到题中O为对角线AC1的中点，又过O的直线与长方体表面交于两点M，N，即可得OM=-ON.

故PM可分解为PM=PO+OM，同理PN可分解为PN=PO+ON=PO-OM.

PM·PN=（PO+OM）·（PO-OM）=PO2-OM2.

又P，M均为长方体表面上的动点，故PO最大值为对角线的一半，最小值为棱长AB的一半，OM也如此，所以PM·PN∈[-8，8].

这是一个较好的“头吃尾”试题，利用题中的O的特殊性，把向量PM分解为PM=PO+OM（O是前一个向量的“尾”，又是后一个向量的“头”），变三个动点P，M，N为两个互不牵制的动点P，M，大大简化了本题.

变式如图2，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则PC·PD的取值范围是.

解析（“头吃尾”）取AB的中点为O，连接PO，PA，PB，则PA+PB=2PO.

因为PA·PB=0.

所以PC·PD=（PB+BC）·（PA+BC）=PB·PA+BC·（PA+PB）+BC2=0+2BC·PO+16=2×2×4×cos+16.

由图可得=[π2，π].

当且仅当P在弧AB中点时向量夹角为π，PC·PD取到最小值0；P在点A或B处时向量夹角为π2，PC·PD取到最大值16.综上PC·PD取值范围为[0，16].

三、关注技巧，做好“解析化”文章

向量作为集数、形于一体的量，其运算蕴含丰富的几何意义.尤其是向量的模，可以把其理解为两点间的距离或是线段的长度，深度挖掘做好“解析化”文章，用形助数，对向量来说成效是显著的.

例2如图3，设a→，b→为单位向量，若向量c→满足c→-（a→+b→）=a→-b→，则c→的最大值是.

解析由题可得，知点C在以M为圆心，CM=a→-b→为半径的圆上运动.

所以

c→max=a→+b→+a→-b→.

又由平行四边形性质可得：a→+b→2+a→-b→2=2（a→2+b→2）=4.

所以c→2max = （a→ + b→ + a→-b→）2≤（1 + 1）（a→ + b→2 + a→-b→2） = 8.

即c→的最大值是22.

变式如图4，已知向量a→，b→满足a→=2，a→2=2a→·b→.对于给定向量b→，满足条件（a→-c→）·（b→-c→）=0的向量c→的模的最大值和最小值分别为M，m，则M-m的最小值为.

解析由图4可得，c→=OC，则M=a→+b→2+a→-b→2.

m=a→+b→2-a→-b→2.

故M-m=a→-b→.

由已知a→2=2a→·b→得，（a→-b→）2=b→2a→-b→=b→，且a→-b→+b→≥a→=2.

即M-m=a→-b→≥1，故M-m最小值为1.

参考文献：

[1]张树鹏破解向量最值问题的三种有效途径[J].数学学习与研究，2017（11）.

[2] 陈晓敏拓展思维，简洁直观——例谈向量法在高中数学解题中的妙用[J].中学数学，2014（05）.