浅析高中解析几何的学习障碍与解题方法

曾辰宇

摘 要：解析几何是高中数学中重点知识，在高考中占有很大的比重。学习解析几何能够培养高中生的综合数学素养，又因为解析几何具有较强的逻辑性，所以清除解析几何的学习障碍在很大程度上能够提升我们的思维能力。基于此，本文先阐述了一些关于解析几何的学习障碍，之后提出了学习圆锥曲线的一些解题方法。

关键词：高中数学;解析几何;学习障碍

数学是高中阶段一门复杂的系统性学科，在高中数学整体知识体系中，解析幾何占有很大比重，像是线性规划、直线方程、曲线方程等，但是现阶段在解析几何学习中，因为一些原因，使得学生在解析几何学习中存在着一定的学习障碍。因此只有将障碍清除，并掌握一定的解题方法才能够学好此部分知识。

一、高中解析几何的学习障碍

（一）数形转化障碍

解析几何不仅是算式、解析式，还能够将函数图像抽象化，只有将函数图像和解析式进行有效结合才可以学好解析几何。但是在实际学习过程中，一些学生的数形转化思想较弱，不能够将二者进行有效的结合，从而形成了学习障碍。另外平面向量既含有几何，又含有代数，可以说是数形交汇，利用向量可以把函数图像变换为代数问题，以此简化计算步骤，解题更加快捷。但在实际学习过程中，一些学生不会将几何图形和代数之间进行互化，所以此种障碍阻碍了学生对于解析几何知识的学习。

（二）知识理解障碍

在有些同学刚接触解析几何时，不能够牢固的掌握解析几何相关基础知识，概念掌握不清。又因为解析几何的概念相较于其他数学知识点来说更难，学生若不能将其理解透彻，就会对多个相似概念混淆。特别是双曲线与椭圆这种联系与区别并存的知识点，若是不理解透彻，就会使得学生对解析几何的学习产生抵触，降低对此部分知识的学习兴趣，进而产生消极心理，形成知识理解障碍。

（三）运算操作障碍

解析几何的最大特点就是运算量较大，一些解析几何问题虽然解题思路简单，但是运算量大，并且较为繁琐，这就使得一些学生经常出现计算失误。运算操作能力可以说是学生学习解析几何的一种阻碍，对于一些运算操作能力较弱的学生来说，其运算速度较慢、准确性不高，并且还带有一定的盲目性等问题。此外，解析几何问题综合性较强，因此需要掌握好运算技巧，准确找到题目中的有效信息，才能学好解析几何。但是在实际学习过程中，学生很难找到有效信息并将其简化。

二、高中解析几何的解题方法

（一）圆锥曲线的标准方程与几何性质问题

在椭圆与双曲线中，二者的定义是将曲线上的点与两焦点之间的距离进行联系，可以将距离问题与三角形知识进行有效结合，求出曲线上的点与两焦点之间的距离。而抛物线的定义是将曲线上的点与焦点之间的具体转为点到准线的距离，利用数形结合思想来解决最值问题。另外，在求与圆锥曲线有关的几何性质问题时，要建立起方程与多个系数之间的关系，或是求出方程的系数，按照其几何性质，利用代数法求出结果。

比如：在解答“已知椭圆■+■=1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线交椭圆于A，B两点，对以下结论：①△ABF2的周长为8;②原点到的距离为1;③|AB|=83;其中正确的结论为（）”

首先，根据椭圆定义可知|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=4，且|AF1|+|BF1|=|AB|，因此可以求出S△ABF2=|AB|+|AF2|+|BF2|=8，因此①正确。其次，由题可知F1（-■，0）直线方程为y=x+■，可求出原点到的距离为d=■=1，因此②正确。然后，设A（x1，y1），B（x2，y2），因y=x+2■+■=1，可得3x2+4■=0，x1=0;x2=-■，进而可知|AB|=■，因此③正确。所以此题①②③全部正确。

（二）圆锥曲线中的定点、定值问题

此种问题一般会涉及到曲线过定点或与线上动点有关的定值问题，与圆锥曲线相关的面积、坐标、弦长等多个定值问题。在解决此题时，首先要根据其具体特殊问题找到目标关系，找出所要求出的定点或定值;然后探究其一般情况与相应的目标关系，最后综合特殊与一般情形下定论。

比如：在解决“已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率为■，左焦点F为（-2，0）。（1）求椭圆C的方程（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值。”

解：（1）由题可知，椭圆的离心率为e=■=■，且c为2，所以a为，a2=8，进而求出b=2，所以椭圆方程C=■+■=1

（2）将直线方程与椭圆方程进行联立，通过化简可得3x2+4mx+2m2-8=0，根据韦达定理可得x1+x2=-■，同理可知y1+y2=■，所以点m为（■，■），带入公式为（-■，■），在将其带入x2+y2=1中，可以求出，m=■。

（三）圆锥曲线中的最值、范围问题

针对此种问题，主要有四种解题方法：一是利用圆锥曲线的定义进行解题;二是判别式法，建立直线与圆锥曲线之间的联系，联立方程组，构建二次方程，利用判别式△≥0求取范围再进行计算。三是函数值域求解，将所求参数当作函数或找取合适的参数作为自变量来表示函数，通过求得函数值域来求数值变化范围;四是利用不等式解决。

以判别式法举例，解决“已知斜率为■的直线l与抛物线y2=2px（p>0）交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为K1，K2，则K1+K2的取值范围是多少”

首先，设直线方程为y=■x+b（b>0），可知x=2y-2b，将其带入抛物线方程可求出y2-4py+4pd=0，△=16p2-16pb>0，因此p>b，然后设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4p，y1y2=4pd，因此K1+K2=■>2，所以取值范围为（2，+∞）。

综上所述，解析几何是高中数学课程中重要的知识点，我们一定要将此部分的学习障碍扫清，并学会一定的解题技巧，才能够掌握好此部分知识点，在高考中夺得高分。

参考文献：

[1]韩新生，姚璐，徐振华.换个思路解决解析几何问题[J].中学数学杂志，2018（11）：45-46.

[2]蔡海涛.例析解析几何简化运算的常用策略[J].高中数学教与学，2018（19）：4-7.