数学趣谈—球面积公式的不同导出方法

马晓悦

【摘要】 本文以古人利用求三角形面积导出圆面积公式，利用求梯形面积导出圆面积公式为引入，进一步将球面展开利用不同的方法导出球面积公式.

【关键词】 三角形面积;梯形面积;圆面积;球面积

圆面积πr2，球面积4πr2，这些公式从何导出：

一、圆面积πr2如何导出

中国古代的数学家，用分割圆面积的方法导出了πr2.其过程是：将一个以2πr为周长的圆，通过圆心，以半径r为腰，分割成n个微小的等腰三角形，利用三角形求面积的方法，得出微小的等腰三角形的面积，再乘原来分割的次数n，即得到圆的面积，其理由是：当圆周2πr的长度被分割的次数越多，则分割后的长度越短，当分割到其长度趋于0时，微小的等腰三角形中间的垂线，等于半径r，这时  2πr n ×r ÷2即为微小三角形的面积，再乘原来分割的次数，即为整个圆面积，这就是中国古人求圆面积的方法，其公式如下：

2πr n ×r ÷2×n= 2πr n × 1 2 r×n=2πr× 1 2 r=πr2.

以上是利用求三角形的面积的方法导出圆面积.也可以用求梯形面积的方法导出圆面积.如图1所示.

设半径为r，将圆周分为四等分，则圆周的长度为 2πr 4 ，梯形的上部分是圆心，其长度为0，底部分的长度为 2πr 4 ，计算公式为：

0+ 2πr 4  ÷2×r×4= 2πr 4 × 1 2 ×r×4=πr2.

如果把一个整圆分割一次，用求梯形面积的方法导出圆面积也是可行的：

设半径为r，若圆为梯形，则圆心为上部分，其长度为0，底部分长度为2πr，其算式为：

（0+2πr）÷2×r=πr2.

我们的祖先，是用这个方法计算圆面积的，即用圆周长度的一半成以半径求面积.

也可用积分法导出圆面积，用圆周的长度积分，其过程为：圆周长度为2πr，积分∫2πr=2π∫r=2π 1 2 r2=πr2

二、球面积4πr2如何导出

方法一：圆面积πr2可以用三角形面积和梯形面积的求法导出，还可以用积分和其他方法导出，球面积4πr2如何导出？因为它是球面，各处都是2πr，是曲线，找不到平面，不过从4πr2分析，也可以用四个πr2面积来求出.

用2πr× 1 2 r=πr2这个算式，可以写成2r× 1 2 πr=πr2，它就变为 1 4 圆周的长度与直径的乘积，也可以得出圆面积πr2（如图2所示），这个公式把圆面积变为以2r为底， 1 2 πr为边的方形面积，圆变方.

用这个公式的变换，可以探索球面积的计算方法：我们把球四等分，先求 1 4 的球面积（如图3所示），在这部分球面积上找一点为中心，从中心点往上，其圆周长度为 1 2 πr，往下也为 1 2 πr，从中心点的左到右也为 1 2 πr，球的半径为r，就可以用2r× 1 2 πr=πr2，求出 1 4 的球面的面积，方法是以r为半径，画出球体的平面圆，而中间从左到右，都在平面圆以内，如果把 1 4 的球面，其上下突出于平面圆的部分分割开来，弥补球面中间不能覆盖平面圆的部分，则 1 4 的球面就与平面圆面积相等，这样 1 4 的球面积就可用平面圆的面积来计算，具体计算如下，先算 1 4 的球面的下半圆，将 1 4 的球面下端突出的部分，用r- 1 2 πr加到中间不能覆盖平面圆的部分.

中间 1 4 球面的宽度为 1 2 πr，比平面圆的直径2r短，如果用r+ 1 2 πr，则中间全覆盖，但这部分是外加r后覆盖的，应用 1 4 球面在下端突出的部分补偿，于是下半 1 4 球面积的直径= r- 1 2 πr + r+ 1 2 πr ， 1 4 的球面积下半部分就完整了，其直径为2r.

用数学推导可以证明：下半 1 4 球面突出平面圆的部分，其面积等于中间 1 4 球面未能覆盖平面圆的部分面积，其值为0.2854r2， 1 4 球面积的上半部分也可用这观念去分析，就是说 1 4 球面的面积，与r为半径的平面圆的面积相等.

找到直径2r，就可以引用2r× 1 2 πr的公式求 1 4 的球面积，其公式为：

1 2 πr×  r- 1 2 πr + r+ 1 2 πr  = 1 2 πr×2r=πr2要得到整个球面积πr2×4=4πr2其总体表达式为：

4×  1 2 πr×  r- 1 2 πr + r+ 1 2 πr   =4×

1 2 πr×2r=4πr2.

举例：设r=3 cm，求以r为半径的球面积：

4×  1 2 π×3×  3- 1 2 π×3 + 3+ 1 2 π×3

=4×4.7124×6

=113.0976 cm2.

用4πr2计算：

4×π×32=4×3.1416×9=113.0976 cm2.

方法二：直接用 1 4 球面积计算其面积，将面积分为上下两部分，先算下面一部分，用等腰梯形面积和三角形面积相加如上图，在平面圆以内看成是梯形面积，突出平面以下，看成是三角形的面积，如果两者之和等于 1 2 πr2，就能算出整个 1 4 球面的面积为πr2.在平面圆内的梯形，其上边为 1 2 πr，下边为未知数，突出平面圆的三角形，其高为 1 2 πr-r，底邊为未知数，也就是球面突出于平面圆之处，球面两边连线的长度是多少？这个长度就是梯形的下边，也是三角形的底边，要先解决两边连线的长度，则梯形面积和三角形面积都可计算了.

我们用前面一致的三角形面积=0.2854r2，用这个数据反过来求三角形的底边长度.

设三角形底边长度为x，则：

1 2 πr-r ×x÷2=0.2854r2，

1 4 πrx- 1 2 rx=0.2854r2，rx  1 4 π- 1 2  =0.2854r2，

rx0.2854=0.2854r2，

所以x=r，这就是梯形的下边和三角形的底边的长度均为r.现在推导 1 4 球面的面积：等腰梯形面积加上三角形面积

1 2 πr+r ÷2×r+  1 2 πr-r ×r÷2

=  1 4 πr+ r 2  ×r+  1 2 πr-r × 1 2 r

= 1 4 πr2+ 1 2 r2+ 1 4 πr2- 1 2 r2

= 1 2 πr2，

即为 1 4 球面下半部分的面积， 1 4 球面的面积为2× 1 2 πr2=πr2，整个球面积：4×πr2=4πr2.

方法三：积分 1 4 球面的面积，将下端突出于平面圆的部分减去，即  1 2 πr-r ，补偿中间不能覆盖平面圆的部分，同时，中间 1 4 球面，其宽度为 1 2 πr，小于平面圆的直径2r，不能覆盖平面圆，必须借外加r，即  1 2 πr+r ，使之全覆盖.

计算式为：  1 2 πr-r +  1 2 πr+r ，

积分∫   1 2 πr-r +  1 2 πr+r

=∫ 1 2 πr-∫r+∫ 1 2 πr+∫r

= 1 2 π 1 2 r2- 1 2 r2+ 1 2 π 1 2 r2+ 1 2 r2

= 1 4 πr2+ 1 4 πr2

= 1 2 πr2，

即为 1 4 球面下半圆的面积，2× 1 2 πr2=πr2，即为 1 4 球面的面积，4πr2=球面积.