一道不等式的评讲历程

季长征

摘 要：在当今课堂教学中，需要教师采用最恰当的策略对知识进行加工重组，引导学生去发现问题、解决问题，培养学生的问题意识并激发学生的求知欲，高三复习课的主要任务就是引导学生对所学知识进行系统的归纳整理，通过问题引入、题型设计建立不同解题思路，让学生有全新的认识，不断提高他们提出问题、分析问题、解决问题的能力。

关键词：不等式；数学归纳法；解题过程；课堂教学

在高三考试中经常遇到这类不等式，笔者尝试以专题的形式加以评讲，旨在从纷繁的解法中找到一些可以掌握的规律，提炼一些模型，帮助学生建构知识体系，提高学生的学习效率，本着以“以学生为主体，师生合作”的原则，和学生一起探索。

下面是一道原题“数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且an，Sn，a2n成等差数列。（3）正数数列{cn}，令ab=（cn）n+1，（n∈N*）。求数列{cn}中的最大项。”此题共有三问，我截取了最后一问，由第一问可知an=n，因此cn=，要求数列{cn}中的最大项，即转化为研究数列{cn}的单调性，就变为证nn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*），笔者就如何用专题课讲解此不等式同大家一起分享。

证明：nn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*）

师：该不等式是在什么条件下成立？是否有提示语在里面？

生1：大于等于3的正整数。

师：对，在遇到与正整数的有关命题，我们通常想到什么方法？

生1：数学归纳法。

师：下面请生1用数学归纳法完成此题。

生1：①当n=3时，34>43，所以原不等式显然成立。

②假设当n=k（k≥3）时结论成立，即kk+1>（k+1）k成立，也就是>1，则当n=k+1时，

师：生1在此卡住了，你觉得怎么由向转化。

生1：（k+1）2>k（k+2）由此得>，

故（）k+1·（k+1）>（）k+1·（k+1）=>1

即（k+1）k+2>（k+2）k+1，故当n=k+1时亦成立，综上原不等式成立。

师：数学归纳法是一种由特殊到一般，从有限到无限思想的重要数学方法，是数学界的“多米诺骨牌”，此方法难点在想到用真分数性质，及如何运用好假设。学生解决此题能够体会数学归纳法的本质所在。

生2：老師，我觉得不等式nn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*）右边是正数，所以我把右边除了过来，我下面没走下去。

师：你卡壳的地方是？

生2：我把原数列作商后得==，此式和1比较很困难。

师：你是否尝试带大于等于3的几个数试一试的？

生2：老师我算过了，我想到了！它是一个递减数列。

师：那下面怎么处理呢？

生2：构造新的数列dn=变为研究数列{dn}的单调性，

∵===[]n+1<1

∴dn+1

所以<1（n≥3，n∈N*），即nn+1>（n+1）n（n≥3，n∈N*）。

师：数学解题过程是在曲折中前进的，遇到问题从而产生新的思路，在思维不断求变的过程中，学生认识问题的能力得以提高，解题能力得到锤炼。

生3：老师我也想到证明单调性，但开始时我就转化为研究函数y=的单调性，然后不知道怎么处理了。

师：原数列cn=，只要知道数列{cn}的单调性，最值自然解决。问题可以转化为研究函数y=的单调性，问题对符合函数的求导你们还记得吗？

生4：我知道！∵y=x，∴lny=lnx两边求导得·y′=故y′=·x

这样的求导方式让很多学生觉得惊奇不已，我让学生4到黑板上演示了详细过程，班级的气氛再次热烈起来。

师：现在请生3继续完成吧。

生3：好的，当x∈[e，+∞]时，y′<0，即y=在[3，+∞）上单调递减，

所以cn（n+1）n（n≥3，n∈N*）。

师：生4用的知识我们暂时不会，大家想想我们就没有其他方法了吗？

班级一片寂静……过了一会儿，我看到学生一筹莫展，做了一点提示，我们能不能将函数变变形，将它变成大家熟悉的函数求导呢？

生5：老师我觉得可以构造一个函数，由lny=lnx，变形为y=e，然后对它求导。

y′=（e）′e·，当x∈[e，+∞）时y′<0，即y=在[3，+∞）在上单调递减，同上。立即班级响起了雷鸣般的掌声，班级的氛围再次掀起了高潮。

师：研究数列单调性时，注意不能直接求导，数列虽是特殊的函数，但它不连续，所以要转化为函数求导，当对求导遇到困难时，在将函数y=x变为y=e过程中体现的数学的化归思想，化未知为已知，化陌生为熟悉。

师：这时，我趁热打铁。常规方法你们都已经说了，而且讲的非常棒。现在我来问大家对这个函数f（x）=熟悉吗？大家异口同声说：“熟悉。”那么我们能不能把这道题向这个方面转化呢？

生6：老师，我想到了，他激动得站了起来。将不等式nn+1>（n+1）n两边取自然对数，得到（n+1）lnn>nln（n+1），即<，因此可以构造函数f（x）=（x∈[3，+∞）），∵f′（x）=<0，∴f（x）在x∈[3，+∞）上单调递减。

当n+1>n≥3时，f（n+1）（n+1）n。

师：太棒了，将一道陌生的题目转化为我们大家再熟悉不过的题目了。要证此不等式nn+1>（n+1）n成立，想到数学的对称性，把n+1和n各放在一侧，想到了两边取自然对数，从而领悟出数学知识的内在联系可以通过对题目的结构理解而产生，利用数学上结构的对称美产生了思维的火花。化未知为已知，化陌生为熟悉。

课堂教学要基于学生的“最近发展区”，使所有学生都有所发展，尽量利用课本后课中出现的一些好素材，同时根据教学目的，采取横向或纵向的发散，让问题落脚点在大家熟悉的区域，通过教师引导，师生共同探究，师生共同感受到数学的统一美和完整美，最终目的是学生探究感悟数学的精髓，培养学生分析问题和解决问题的能力。

编辑 刘瑞彬