线性规划的思想方法与向量法的联袂应用

丁冬彦 赵欣庆 刘彦江 张文斌

摘 要：在线性规划教学中，运用几何画板软件，融入向量法，达到数学实验进入课堂，让学生在动态直观的情景中享受学习数学的乐趣。

关键词：线性规划课堂教学；几何画板动态展示；向量法

利用几何画板软件的向量表示参与构图就是把向量这一解析几何的基本工具，运用到与坐标法有关的数学教学中去，利用它特有的几何意义和运算性质，巧妙地解决线性约束条件下线性目标函数最优解问题。

以下为课堂实录，用几何画板展示其构图如下（教师现场操作电脑的鼠标、键盘构造图形。展示大屏幕在黑板的右侧）。

板书：已知点P（x，y）的坐标满足

x-y≤0x-y+2≥0y≥0，求z=3x+y的取值范围。

分析：几何画板构造图形，其“脚本”如下（展示大屏幕在黑板的右侧）。

（1）新建画板，建立以O为坐标原点的平面直角坐標系。用度量菜单计算，绘制点B（1，），再绘制点B（-2，0），构造直线OB、直线BC.

（2）构造的△BOC内部。构造△BOC上的点P.绘制点A（3，），构造直线OA、向量.

（3）过P点作直线OA的垂线交OA于点H，隐藏垂线。构造向量.鼠标拖动点P，观察投影OH的大小变化。

解：设A（3，），则=（3，）且||=2.又=（x，y），则z=3x+y=·.

设在上的投影为OH，则z=||·OH.因此，求解z=||·OH的范围问题转化为判断在的投影OH的范围问题。

当点P沿着可行域△BOC的边界移到x-y=0与x-y+2=0的交点B（1，）时，在上的投影OH达到最大，此时把B（1，）代入z=3x+y取得最大值6.

当点P沿着可行域△BOC的边界移到x-y+2=0与轴的交点C（-2，0）时，在上的投影OH为负值最小，此时把C（-2，0）代入z=3x+y取得最小值-6.所以z=3x+y的取值范围是[-6，6].

以上是向量思想方法与线性规划思想方法的联袂，用此法求线性约束条件下线性目标函数的最优解，达到了巧、快、准、灵，充分展现了数学知识之间的交叉渗透，体现了数学美。

参考文献：

注：本文系甘肃省教育科学“十三五”2017年度规划课题《〈几何画板〉软件在高中解析几何教学中应用的研究》（GS[2017]

GHB2552）的阶段性研究成果。

？誗编辑 段丽君