动量定理在完全弹性碰撞中的运用简化数学运算

陈志杰

（2016全国Ⅱ卷）35.（2）如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h=0.3m（h小于斜面体的高度）。已知小孩与滑板的总质量为m1=30kg，冰块的质量为m2=10kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g=10m/s2。

（i）求斜面体的质量；

（ii）通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？

本题的第二小题，涉及到完全弹性碰撞的问题。即列出方程组：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′ 和12m1v21+12m1v22=12m1v′21+12m2v′22

正常数学解得：v′1=m1-m2v1+2m2v2m1+m2；v′2=m1-m2v2+2m1v1m1+m2

若v2=0，可得：v′1=m1-m2m1+m2v1；v′2=2m1m1+m2v1

此方程组数学计算对于基础差的学生是一个难题，通常要求强记结论，但是学生容易把两个速度结论搞混乱。此次我先给同学们讲解如何用物理方法轻松快速的解开这个方程组。

我将讲解动量定理在完全弹性碰撞中的运用来简化数学运算。

如图，以质量为m1，速度为v1的小球A与质量为m2，速度为v2小球B发生正面弹性碰撞为例。弹开后A、B两球的速度分别为u1、u2 。

我们假设两球在相互作用的過程中平均作用力分别为F和F，碰撞时间为t，当两球的完全弹性碰撞过程中形变量达到最大瞬间，此时两球速度相同，大小为v共。根据对称性，这时候碰撞时间已经过了0.5t，对A球来说，F的冲量为：

I1=0.5Ft=m1（v共-v1） ①

两球从形变量最大到刚刚分开的瞬间也过了0.5t的时间，再次对A球分析，F的冲量为：I2=0.5Ft=m1（u1-v共） ②

联立1122两方程可得： u1=2v共-v1 ③

同理对B球运用动量定理分析可得： u2=2v共-v2 ④

此时动量守恒m1v1+m2v2=（m1+m2）v共 得 v共=m1v1+m2v2m1+m2⑤

运用结论③④⑤，我们可以很快的解答出完全弹性正碰的方程组。

接下来我们来解答题目（2016全国Ⅱ卷）35.（2）

（i）规定水平向右为速度正方向，冰块在斜面上运动到最大高度时两者达到共同速度。设共同速度为v，斜面体的质量为m3。由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得：

m2 v20=（m2+ m3）v 和 12m2v220=12m2+m3v2+m2gh

式中v20=-3m/s为冰块推出时的速度。联立并代入题给数据解得

v=-1m/s ； m3=20kg。

（ii）设小孩推出冰块后的速度为v1 ，由动量守恒定律有m1v1+m2v20=0

带入数据得v1=1m/s.

设冰块与斜面体分离后的速度分别为u2和 u3，由动量守恒和能量守恒得：m2v20=m2u2+m3u3和12m2v220=12m2u22+12m3u23 斜面体初速度v30=0m/s

u2=2v-v20=2×（-1）-（-3）m/s=1m/s

u3=2v-v30=2×（-1）m/s=-2m/s

由于冰块在小孩子后面，速度与小孩子相等，所以冰块追不上小孩。

【变式训练】

如图所示，一个四分之一圆弧斜面固定在小车上，斜面下端与小车水平面相切，小车与斜面的总质量M=9kg。一个质量为m=3kg的光滑小球，以v1= 9.0m/s的速度向右冲上小车平面，同时小车以v2= 6.0m/s 向右运动。小车水平面离地面的高度h= 0.45m，忽略所有摩擦力。求出小球落地瞬间，小球与小车左端的水平距离为多少？（g=10m/s2）

解：由动量守恒可得：

Mv1+mv2=Mv1′+mv2′

由能量守恒可得：

12m1v21+12m1v22=12m1v′21+12m2v′22

v共=Mv1+mv2M+m=6.75m/s

v′1=2v共-v1=2×6.75-9m/s=4.5m/s

v′2=2v共-v2=2×6.75-6m/s=7.5m/s

由h=12gt2 得， t=0.3s

小球落地瞬间，小球与车同向运动，小球与小车左端的水平距离s为：

s=v′2t-v′1t=0.9m

综上所述，动量定理在完全弹性碰撞中的巧妙运用，可以大大简化数学运算，减少计算失误，节约时间。

（作者单位：福建省永春第三中学 362600）