不可或缺的静电能

俞金海

对于一个带电体系的静电能，应包括每个带电体的自能和带电体间相互作用能。所谓“自能”就是将一个带电体看成无穷个带电微元，将这些无穷多个带电体微元从无限分散状态聚集成该带电体，外力所做功的大小。所谓“互能”则是将带电体系统中，各带电体从现在位置彼此分开至无穷远时，它们之间的静电力所做的功。具体到两个带电金属小球，半径均为R，带电量为q1、q2，带电体系的自能E自=112∑∞1i=1φiΔqi=112kq11Rq1+112kq21Rq2=kq2112R+kq2212R；两球心相距r时，带电体系的互能E互=kq1q21r。在中学物理中，两个带电小球在光滑绝缘水平面上相互作用问题是个典型情境，它涉及小球的动量、动能及电势能等诸多物理量。

【例1】两个完全相同的金属小球A和B，A球带电荷量为-q，B球带电量为+q，它们在绝缘光滑的水平面上从相距r的初位置以相同的初速度v0（动能为E0）沿同一直线相向运动而发生弹性正碰，求两球同时返回原位置时的速度大小v（）。

A.大于v0B.小于v0C.等于v0D.均有可能

[析与解]设两小球半径为R（Rr），小球受库仑引力作用而相向运动，碰前的动能均增大为Ek，因出发时两球的互能E互=-kq21r，碰前的互能E互′=-kq212R，两球的自能E自=kq212R+kq212R=kq21R未变，故由能量守恒知：Ek=E0+112ΔE互，其中ΔE互=kq2（112R-11r）为两球互能的减少量。碰后分离时，由于两球的电荷中和，两球的互能和自能均减为零。鉴于两球弹性碰撞的相互作用力远远大于它们的库仑力，则两球刚碰离时的动能可以保持为刚碰前的动能，仍为Ek=E0+kq2（114R-112r），故小球匀速返回原位置的速度大小肯定大于v0。另外，考虑到初位置两球总能量E总=2E0+kq2（11R-11r），碰后总能量E总′=2E0+kq2（112R-11r），其差额为kq212R，笔者认为应该是两球接触时放电的能量（焦耳热）。

上述两球电量恰好中和完的确是一个特例，下面再考虑一个普通情况。

【例2】光滑绝缘的水平面上M、N两点各放一带电量为+q和+2q的完全相同的金属小球A和B。今使A、B以相同初动能E0相向运动，且刚好发生碰撞，碰后返回M、N两点时动能为E1，比较E1和E0的大小。

[析与解]该题摘自某教学刊物“动能增加还是减少”一文，该文是根据两球碰前的电势能Ep=k2q21r及碰后电势能Ep′=k9q214r，并结合焦耳热释放来判断得出E1

事实上，他只考虑了两球的互能，而缺少了两球的自能。若借用上题的球的大小及位置条件，两球刚碰前的动能Ek=E0+kq2（11r-112R），碰前总能量E总=2E0+kq2（21r+512R），同理，不考虑两球刚碰前后的动能变化，则碰后总能量E总′=2E0+kq2（21r+1918R），其差额kq218R也该为焦耳热。再根据两球碰后的能量守恒，可得返回原位置小球的动能E1=E0+kq2（1116R-118r）>E0。

总而言之，两带电小球的相互作用过程比较复杂。单从能量方面看，不仅要考虑两球的互能，还要考虑两球的自能（这是不可或缺的），特别在碰撞时两球的电荷中和、电荷转移所带来的焦耳热更是十分重要。

参考文献

[1]赵凯华等.电磁学（上册）[M].北京：人民教育出版社，1978.

[2]郭文忠.动能增加还是减少[J].物理教学，2007（11）：52.

（责任编辑易志毅）