有关复数模的一道不等式另证及对猜想的否定

福建省福州市第二十四中学 (邮编：350015)

笔者曾在文[1]给出了有关复数模的一道不等式，即以下结论

定理设a、b、c∈C,求证：

|a|+|b|+|c|-(|b+c|+|c+a|+|a+b|)+|a+b+c|≥0.

文中应用了一个关于复数模的一个恒等式来证明.本文将对定理中的不等式介绍另一种证明方法.

定理又一证明利用等式

|a|2+|b|2+|c|2+|a+b+c|2=|b+c|2+|c+a|2+|a+b|2(证略)，

有

(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|)2

-(|b+c|+|c+a|+|a+b|)2

=|a|2+|b|2+|c|2+|a+b+c|2

+2(|b||c|+|c||a|+|a||b|)

+2|a+b+c|(|a|+|b|+|c|)

-(|b+c|2+|c+a|2+|a+b|2)

-2(|c+a||a+b|+|a+b||b+c|

+|b+c||c+a|)

=2|a+b+c|(|a|+|b|+|c|)

+2(|b||c|+|c||a|+|a||b|)

-2(|c+a||a+b|+|a+b||b+c|

+|b+c||c+a|)

=2[(|a+b+c||a|+|b||c|)

+(|a+b+c||b|+|c||a|)

+(|a+b+c||c|+|a||b|)]

-2(|c+a||a+b|+|a+b||b+c|

+|b+c||c+a|)

≥2(|a2+ab+ac+bc|+|b2+ab+ac

+bc|+|c2+ab+ac+bc|)

-2(|c+a||a+b|+|a+b||b+c|

+|b+c||c+a|)

=2(|c+a||a+b|+|a+b||b

+c|+|b+c||c+a|)

-2(|c+a||a+b|+|a+b||b+c|

+|b+c||c+a|)=0,

故原式成立.

同时，笔者在文末曾提出了如下

猜想设zi∈C,i=1,2,…,n,求证:

事实上，上述猜想不成立.反例如下：

取n=4,z1=z2=z3=1 ，z4=-2,这时，有

|z1|+|z2|+|z3|+|z4|=5, |z1+z2|+|z1+z3|+|z1+z4|+|z2+z3|+|z2+z4|+|z3+z4|=9,

|z2+z3+z4|+|z1+z3+z4|+|z1+z2+z4|+|z1+z2+z3|=3,

|z1+z2+z3+z4|=1,

于是，

=5-9+3-1=-2<0.

故猜想不成立.