一道高考题的求解策略及深入探究——剖析2018年上海高考第12题

浙江省宁波市第四中学 (邮编：315016)

1 试题呈现

本题为2018年上海市高考数学试题第12题，从题面上看，考查的是以“绝对值和方程”为载体、不等式为主线的典型问题，着重考查学生分析问题、解决问题的能力，能够检验学生对曲线与方程之间关系的认知程度，对转化思想、数形结合思想等的掌握情况.

2 求解策略

图1

解法(1) 从距离公式切入

|PP′|+|QQ′|=2|MM′|≤2(|MO|

解法(2) 从三角函数切入

图2

由于考虑的是|PP′|+|QQ′|的最大值，故P、Q在直线x+y=0的同侧(如图2)，且P、Q到直线x+y=0的距离可表示为|OP|sinα,|OQ|sin(120°-α)

所以

解法(3) 从参数形式切入

可设x1=cosα,y1=sinα；x2=cosβ,y2=sinβ,

解法(4) 从不等式性质切入

由于(x1+y1+x2+y2)2≤2[(x1+x2)2+(y1+y2)2]=6,所以

3 深入探究

3.1 求最小值

图3

其中0°≤α≤45°.)

当P、Q两点分别在直线l的上侧(包括在直线l上，如图4)时，则

图4

3.2 一般情形

3.3 变式编题