一道教材引例的教学价值

张雨晴

在复习课中，有些教师广泛查阅课外资料，以选择大量所谓好的例题在课堂中讲解.事实上，教材中就有大量朴实无华、辐射性强的问题或例题，等待我们去总结和挖掘.

高中数学（人教A版）必修5第三章数列中，在描述递推法与递推公式时，给出了如下的引例：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍加1，即an=2an-1+1（n>1），那么a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，….

我们知道，这是典型的一阶线性递推数列，它的一般形式为a1=a，an+1=pan+q， （其中p≠0，1，p，q均为常数）.教材中仅用此例说明什么是递推法与递推公式，而没有求其通项公式，更没有做进一步的研究与探讨.我们认为，该例题是进行单元复习或高考复习的极佳素材，是已知递推公式求通项公式的典型例题，它的通项公式的各种求法可迁移到某些一阶非线性递推数列及二阶线性递推数列的通项公式的求法.下面对该题的解法做一深入探究.

题目 已知a1=1，an=2an-1+1（n>1），求数列{an}的通项公式.

解法1 （用待定系数法构造等比数列）

设an=2an-1+1可化为an+λ=2（an-1+λ），即an=2an-1+λ，所以λ=1.从而an+1=2（an-1+1），即an+1an-1+1=2，所以{an+1}是以2为公比的等比数列，又它的首项为a1+1=2，故an+1=2·2n-1=2n，故an=2n-1.

解法2 （通过作差构造等比数列）

因为an=2an-1+1，所以an+1=2an+1，两式相减得an+1-an=2（an-an-1），即an+1-anan-an-1=2，所以{an+1-an}是以a2-a1=2为首项、以2为公比的等比数列，故an+1-an=2·2n-1=2n，所以an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n-1=2n-1.

解法3 （利用方程的思想）

由解法2，有an+1-an=2·2n-1=2n.（1）

又因为an=2an-1+1，所以an+1=2an+1.（2）

（2）代入（1）得an=2n-1.

解法4 （构造差式再利用累加法）

因为an=2an-1+1，所以an-2an-1=1，

上式两边同除以2n，得an2n-an-12n-1=12n，

利用累加法，得

an2n=a12+a222-a12+a323-a222+…+an2n-an-12n-1

=12+122+123+…+12n=1-12n，

故an=2n-1.

解法5 （累加法）

由已知得an-2an-1=1，

則a2-2a1=1，（1）

a3-2a2=1，（2）

a4-2a3=1，（3）

…

an-2an-1=1.（n-1）

由（1）式+12×（2）式+122×（3）式+…+12n-2×（n-1）式，得

12n-2an-2a1=1+12+122+…+12n-2=2-12n-2，

故an=2n-1.

解法6 （迭代法）

因为an=2an-1+1，a1=1，则

an=2an-1+1=2（2an-2+1）+1=22an-2+2+1

=22（2an-3+1）+2+1=23an-3+22+2+1=…

=2n-1a1+2n-2+2n-3+…+2+1

=2n-1+2n-2+2n-3+…+2+1=2n-1.

解法7 （归纳—猜想—证明）

∵an=2an-1+1，a1=1，

∴a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，

故猜想an=2n-1.下面用数学归纳法证明.

（1）当n=1时，a1=21-1=1，结论显然成立.

（2）假设当n=k时，结论成立，即ak=2k-1，

那么当n=k+1时，

ak+1=2ak+1=2（2k-1）+1=2k+1-1，

所以n=k+1时，结论也成立.

综合（1）（2）可知，an=2n-1对一切n∈N+都成立.

以上七种解法为解决许多数列问题提供了思路，其中解法1是通解通法，运用它可以求解以下三类一阶非线性递推数列的通项公式：（1）a1=a，an=pan-1+kn+b（n>1）；（2）a1=a，an=pan-1+kn2+bn+c（n>1）；（3）a1=a，an=pan-1+kqn+b（n>1）.其中a，p，k，b，c均为常数，且p≠0，1，k≠0.也可以求解二阶线性递推数列：F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3）的通项公式.在实际教学中，教师可以采用讲授法，也可以让学生先在课下分组探究，再在课堂上汇报不同的解法，教师点评与补充.

作为例1的练习，我们可把教材中习题2.1A组第4题第一小题由写前五项改为求通项公式：已知a1=12，an=4an-1+1（n>1），求数列{an}的通项公式.endprint