如何通过逻辑推理提高高中立体几何解题能力

摘要：立体几何在高考中是很重要的一部分，在选择题、填空题以及解答题中都有考查，总分达到了27分左右。选择和填空题型主要考查了学生的计算能力，而解答题则侧重考查立体几何中的逻辑推理问题，这是学生的薄弱环节。本文主要探究了教师如何引导学生学会逻辑推理，借助空间想象来思考和分析，逐步掌握解题方法，形成自己的逻辑思维，进而顺利地完成解题。

关键词：高中数学；立体几何；逻辑推理；解题能力

随着新课程改革的进一步实施，立体几何的考查更加注重对学生思维能力的考查，需要学生在解决问题过程中进行逻辑推理和分析判断，在探究中明确线线关系、线面关系和面面关系，清楚空间角、面积与体积的计算问题。学生在解决问题时需要在大脑中建构一个立体图形，培养自己的立体感，在此基础上进行想象和推理，明确各种数量关系，进而实现知识的迁移，达到举一反三、触类旁通的程度。如果学生的想象能力不好，立体感不强就不能很好地利用几何语言去进行分析和推理，教师要善于通过想象的方式来帮助学生学会推理和逻辑分析，实现立体几何解题能力的提高。

一、 推理想象综合考虑三视图，准确识图

三视图是立体几何中的一种常见图形，学生需要具有一定的想象能力和逻辑分析能力去探究三视图的构成和各种数量关系。学生要明确三视图是从不同角度对图形进行的观察和分析，需要学生从正视、侧视、俯视三个角度来对图形进行分析和判断。在分析中需要对各个角度的图形进行逻辑思考和推理判断，明确各种数量关系和图形构成。在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，学生需要根据三视图的规则：空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，进行认真分析和逻辑推理，实现正确的识图，在此基础上进行分析和探究。学生还要认识到在还原空间几何体实际形状时一般以正视图和俯视图为主。同时还需要从三个视图综合考虑，全面分析，实现对三视图的全面理解和客观认识，提高自己的逻辑推理能力，达到更好地解决实际问题。

二、 推理思考线面位置的关系，正确认识

在立体几何中，线面的位置关系是学生经常需要推理和判断的问题。在解决这类问题时，学生首先需要明确线面主要有平行和垂直两种位置关系。在判断线面平行问题时，主要涉及了线面平行、面面平行、线线平行三种关系；而判断线面垂直的位置关系时则主要涉及了线面垂直、面面垂直和线线垂直的位置关系。学生需要在解决问题的过程中进行认真推理和逻辑分析，准确地把握线面之间的关系，在此基础上进行合理分析，逻辑思考，准确把握位置关系。

在证明空间线面位置关系时主要采用的就是转化与化归的思想，学生在推理判断过程中一定要善于利用这种数学思想分析和判断，实现学生进行正确地解题和思考。在推理判断中，学生需要根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，每一个推理步骤都要做到有据可依。例如在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点。求证：（1）EF∥平面ABC1D1；（2）EF⊥B1C。解答问题过程中，学生首先可以连接BD1，如图所示。在△DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，则EF∥D1B；根据D1B平面ABC1D1；EF平面ABC1D1所以可以推论出EF∥平面ABC1D1。在证明第二问的时候，学生需要认识到ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以AB⊥面BCC1B1所以可以推论出B1C⊥AB。根据这个条件，同时还有B1C⊥BC1；AB，BC1平面ABC1D1；AB∩BC1=B这几个条件，可以推论出B1C⊥平面ABC1D1；再根据BD1平面ABC1D1；推论出B1C⊥BD1；再根据EF∥D1B就可以推论出EF⊥B1C。在解决第二问的时候，学生在逻辑分析和推理判断过程中要认识到，这道题主要需要证明的就是线线垂直。但是在分析问题时不能只局限在线上，学生需要借助立体图形中的线面关系、面面关系以及线线关系来进行转化和推理，最终把相关的线归结到某个平面上，或者是把与这些线平行的直线归结到某个平面上，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的。但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的推理和判断中，学生会实现把数量关系之间的转化，从而达到最终目的。学生在推理过程中一定要注意推理严谨，有理有据。在使用某一个定理的时候一定要找到足够的条件，科学地进行推理和判断，展现自己的逻辑思考能力和判断能力，实现把问题顺利地解决。

三、 推理明确空间角向量夹角，避免混淆

学生在立体几何解题过程的推理和分析要关注空间角与向量夹角的不同，明确區别，避免混淆，确保自己能正确解答问题。推理过程中学生很容易将两者混为一谈，从而弄错解题过程，出现错误。学生的推理一定要细致，明确空间角与向量夹角的不同。空间中角的向量求法是立体几何中的重点，学生借助向量的夹角公式可以很方便地避开寻找角的过程，之后通过对向量夹角的计算来实现。在推理过程中，夹角公式是学生需要掌握的，还需要关注已知条件之间的关系，通过认真思考和仔细推理来实现代换和计算，完成解答过程。空间向量在解决异面直线所成角的计算时，要先建立空间直角坐标系，然后将两个向量的坐标带入夹角公式中计算，特别要注意向量夹角的范围，取值要取正值。为了避免学生的失误，学生在解题过程中一定要认真理解空间角与向量所成角是两个不同的概念，在推理和判断的过程中明确他们的区别，进行认真地推理和分析，确保解题的顺利进行和对解题方法的掌握。

总之，立体几何是培养学生立体感和想象能力的有效方法。教师要引导学生在学习过程中学会科学分析，逻辑判断，做到推理严密，正确解答问题。通过学生对立体几何的分析和判断，学生在逻辑推理中会不断地明确各种数量关系，在大脑中建构出一个立体形象的图形框架，进而更好地探究知识，解决问题，形成自己的数学思维能力，实现顺利地解决问题，提高学生的数学素养。

参考文献：

[1]宋恩莉.证明线段相等的常用方法[J].数理化解题研究（高中版），2015，01.

[2]殷彩莲.巧用二项式定理[J].考试（教研版），2016，01.

作者简介：

桑迪，陕西省西安市，陕西银行学校。endprint