如何培养初中生的数学基本思想——以《二次函数》为例

江苏省太仓市明德初级中学 陆 漓

《义务教育数学课程标准（2011年版）》的颁布实施，标志着我国基础教学中学数学课程改革进入了一个全新的阶段。新课标中最大的改变莫过于将“双基”变“四基”，“两能”变“四能”，而基本思想作为“四基”之一，首次明确地在《课标》中提出。那么，什么是数学基本思想呢？数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。数学基本思想则在其中处于较高层次，其他的数学思想都可以由这些“数学基本思想 ”演变而来。数学思想是数学教学的核心与精髓，教师在教学活动中应该努力反映和体现数学思想，让学生了解和体会数学思想，提高学生的数学核心素养。笔者将结合《二次函数》一课，重点从如何培养学生的数学基本思想来谈谈自己的想法。

一、寻找学生的最近发展区，用数学基本思想架起新旧知识的桥梁

师：小时候，我们都在河边玩过“打水漂”，同学们有没有注意过最后石头落水激起的波纹，它不断地向外扩展，所形成的圆周长C与半径r的关系是什么？

师：上述关系式是函数吗？

生：是的。

师：它是什么函数呢？

生：一次函数。

师：它的一般表示形式是什么呢？

【设计意图】引导学生自主寻找“最近发展区”，使学生原有的知识结构与新知识之间产生一座无形的桥梁。为接下来类比一次函数获得二次函数的概念奠定基础，培养学生知识迁移的能力，渗透类比的数学思想。

二、引导学生亲自经历将生活中的实际问题抽象成数学模型的过程，让数学思想渗透进生活

师：石头落水激起的波纹不断扩大的圆面积S与半径r之间的函数关系式又是什么呢？

师：这个关系式是一次函数吗？

生：不是。

师：为什么呢？

生：r上面的指数是2，不是1。

师：那它是什么函数呢？

生：二次函数。

师：对，这就是我们今天要学习的二次函数，那同学们能告诉我什么是二次函数吗？

生：……

师：那老师再给大家两个实际问题，看你们能不能用函数关系式表示它们？

问题1：我们学校在2015年的时候全校人数为800人，2017年人数为y人，若每年的增长率不变，则y与年平均增长率x的关系式是什么呢？

问题2：学校开设的劳技课中，要用周长为20m的篱笆围成一个矩形场地，那么场地面积h(m²)与矩形一边长x(m)之间的函数关系式是什么呢？

【设计意图】在函数学习过程中，能渗透数学建模思想和数学抽象思想。本节课是由学生熟悉的生活情景入手，引导学生经历探究实际问题中两个变量之间的数量关系，写出函数关系式的过程，感受将实际问题数学化的基本思想。在这个过程中，进一步发展学生的数学抽象思想；渗透类比思想，用数学语言描绘这个世界，发展数学建模素养。

三、让学生在对知识的反复理解和运用中实现对数学基本思想的模仿到初步应用，最后达到自觉应用阶段

师：已知函数y=（a+2）x²+x-3是关于x的二次函数，求常数a的取值范围。哪位同学有解题思路了？

师：思路很清晰，有疑问吗？

生：没有。

师：变式1：m取哪些值时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数？怎样思考？快速抢答思路。

【设计意图】通过对二次函数中的三个常数及自变量最高次的现实意义题型的反复练习，变式训练，进一步培养学生的知识迁移思想和应变能力。

四、引导学生小结反思，用数学的思想回顾知识生成和运用的过程，提炼本节课的本质和精髓

1.回顾、梳理二次函数概念生成的过程。

2.揭示探究过程所蕴含的数学基本思想。

3.生活中的二次函数问题。

【设计意图】小结反思，回顾过程，既包括显性的知识获得，也包括隐性的思想方法；既包括个人的收获，还包括群体的智慧。从生活引入，再回到生活中去。

一节课下来，学生在类比思想的帮助下，在旧知识的基础上获得了新知识生长点，并应用在实际问题中，实现知识方法的迁移，使得数学建模和数学抽象的思维能力得到了发展。在教学中，我们除了关注“双基”，更要关注思想的本质，有效提高学生的思维能力。通过题型的转化、变式和化规，把学生零散孤立的知识点整合在一起，用一条主线将知识点都串联起来，还要理解“本质”间的相互联系，形成知识体系，有效培养学生的数学基本思想，进而培养学生的数学核心素养。

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