用矩阵的逆求不定积分

郑婧　朱达

摘要：本文主要利用高等代数中线性变换的知识，通过求导变换的逆变换求解不定积分。

关键词：线性变换求导运算；逆矩阵；不定积分

假设S是V的一个有限维子空间，且对求导运算封闭，即若f（x）∈S，则f′（x）∈S。

f1（x），f2（x），…，fn（x）是S的一组基，线性变换D在该基下的矩阵为A，则D的逆变换在该基下的矩阵为A-1，通过A-1，我们就可以求得S中某个函数的不定积分。下面我们将通过一个例子来了解这种方法。

例计算∫xnsinddx.

设S=L（xnsinx，xn-1sinx，…，sinx，xncosx，xn-1cosx，…，cosx），很显然，S对求导运算D封闭，xnsinx，xn-1sinx，…，sinx，xncosx，xn-1cosx，…，cosx线性无关，它们构成了S的一组基，D在该基下的矩阵A-NE-EN其中E为n+1阶单位矩阵，N=（ne2，（n-1）e3，…，2en，en+1，0），ei表示第i行等于1，其余行等于0的列向量。

对A进行初等行和列变换，可得到新的矩阵A′=N+EE-2EN-E，A的行列式值与A′的行列式值相同，det（A）=det（A′）=|N2+E|=1，所以A为可逆矩阵。

设A-1=X1X3X2X4

，通过计算可解得A-1=

（N2+E）-1N-（N2+E）-1

（N2+E）-1（N2+E）-1N，设

（N2+E）-1=（α1，α2，…，αn+1），则

（N2+E）-1N=（nα2，（n-1）α3，…，αn+1，0），要求∫xnsinx的不定积分，只需求得A-1的第1列，所以我们只要求出

（nαT2，-αT1）T即可，即算出（N2+E）-1的第1列和第2列。

以n是偶数为例，此时可解得

我们可以看到，在此例中，如果用通常求不定积分的方法，当n比较大时，计算起来就比较麻烦，且易出错，但利用上面的方法，再借助于matlab软件，我们便可以很快得到计算结果，因此，用矩阵的逆求解不定积分在一些情况下是十分具有优势的。

参考文献：

[1]邱森，朱林生.高等代数探究性课题精编[M].武汉大学出版社，2012.

[2]丘維声.高等代数（下册）[M].清华大学出版社，2010.

作者简介：郑婧，江苏省南京市，南京林业大学理学院信息与计算科学系；

朱达，江苏省南京市，南京林业大学理学院材料化学系。endprint