基于提高初中数学解题能力的教学反思

张世钦

【摘要】反思，可以提高自身学习效能、培养自身的学科素养；反思也是学习提高的重要环节，提高数学解题能力是学生不懈追求的目标，也是培养数学学科素养的必要手段；通过反思，可以不断积累经验，培养思维的深刻性与批判性，从而激发学生探索数学的兴趣；进一步推动学生的探究意识，发展学生思维创造力.本文通过对反思解题规律、解题思维、数形结合思想等等的探究，阐述了如何养成反思习惯，从而提升学生的数学解题能力，提高学习的有效性.

【关键词】初中数学；解题能力；教学反思

“学而不思则罔，思而不学则殆.”在数学学习中，许多学生只注意解题的数量，而不重视解题的质量；只重视解题的结果，而不重视解题的过程.要让学生形成良好的学习方法，就必须把学生从题海中领出来，引导学生从题目特征、解决问题的规律、思维策略等方面进行多角度、多侧面的反思，只有这样才能拓宽思路，优化解法，提高学习效率，增强创造性解决问题的能力.笔者结合平时的教学实践对培养学生的反思习惯做一些探索.

一、反思解题规律，培养学生探究精神

同一类型的问题，解题方法往往有其规律性，因此当一个问题解决后，要不失时机地引导学生反思解题方法，认真总结解题规律，力图从解决问题中找出新的普遍适用的东西，提高解决问题的能力.

如，在有些分式加减法运算中，用常规方法通分去解相当烦琐，如果根据题型特征用拆项法解，能够化繁为简，化难为易，提高学生分析问题、解决问题的能力.如果分式分母中的两个因式相差1，逆用分式减法法则拆项.即表示为1x（x+1）=1x-1x+1.

例计算：1x（x+1）+1（x+1）（x+2）+…+1（x+99）（x+100）.

解原式=1x-1x+1+1x+1-1x+2+…+1x+99-1x+100

=1x-1x+100=100x2+100x.

通过例1的解法学生豁然开朗，较大地激发了学生的好奇心和解题积极性.这时教师及时给出练习1、练习2.

练习1解方程：1x+4+1（x+1）（x+2）+1（x+2）（x+3）+1（x+3）（x+4）=2.

解原方程可化为

1x+4+1x+1-1x+2+1x+2-1x+3+1x+3-1x+4=2，

1x+1=2，

去分母得2（x+1）=1，解得x=-12.

经检验x=-12是原方程的根.

练习2化简：a-bab+b-cbc+c-aca.

解原式=1b-1a+1c-1b+1a-1c=0.

数学问题，浩如烟海，根据题目特征，寻找解题规律，另辟蹊径，常可获得别开生面的妙解.通过此类题型的解答引导学生反思解题规律，即如果分式分母中的两个因式相差1，逆用分式减法法则拆项即可简化运算，进而提高学生的解题应变能力.

又如，正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示，点G在线段CD或CD的延长线上.分别连接BD，BF，FD，得到△BFD.

（1）在图1-图3中，若正方形CEFG的边长分别为1，3，4，且正方形ABCD的边长均为3，请通过计算填写下表.

正方形CEFG的边长134

△BFD的面积

图1

图2

图3

（2）若正方形CEFG的边长为a，正方形ABCD的边长为b，猜想S△BFD的大小，并结合图3证明你的猜想.

解（1）92；92；92.

（2）猜想：S△BFD=b22.

证明：证法1：S△BFD=S△BCD+S△梯形DCEF-S△BEF

=b22+12a（a+b）-12a（a+b）=b22.

证法2：如图，连接CF，由正方形的性质可知∠DBC=∠FCE=45°，∴BD∥CF，

∴△BFD与△BCD的BD边上的高相等，

∴S△BFD=S△BCD=b22.

本题（1）学生比较容易得出，并且发现正方形CEFG的边长发生变化，但△BFD的面积却不变.这样引起学生的好奇心，是不是真的有这个关系呢？此时学生的思维处在获得成功的兴奋中，于是不失时机地引导学生思考（2）.

经过学生们的探索、反思，马上有学生猜想得出了结论：S△BFD=b22.并通过数学推理加以证明.本题通过反思，引导学生从特殊到一般，反思解题规律，从而推广出一类问题的解决办法，这有利于培养学生的深入钻研的良好习惯，提高解题能力.

二、反思题目特征，培养发散思维

如何反思题目特征呢？我们首先应从多角度、多方面、多层次去思考问题、认识问题和解决问题，只有这样才能将题目的特征反思得透彻，有利于将题目逐步引申、变式、推广，不仅能巩固所学的知识，而且能培养和发展学生思维的发散性，提高应变能力.

又如，在復习“全等三角形”的知识时，我布置了这样一道作业题：

（1）如图4所示，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，连接BQ，CP，求证BQ=CP.

通过对图4的分析，大部分学生都能够通过证明△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP.当直接证明原题后，可改变题目的条件，使图形发生变化，在运动变化中观察相关图形的变化，发现隐含在其中的不变量，从中发现规律.

图4

图5

（2）变式：若将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ=CP”仍然成立吗？若成立，请你就图5给出证明；若不成立，请说明理由.

此题图形有交叉，初一看图感觉有点乱.但只要仔细一看就会发现一样能够通过证明△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP.endprint

比较两题证法：

证明（1）∵∠QAP=∠BAC，

∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，

即∠QAB=∠PAC.

在△BQA和△CPA中，AQ=AP，∠QAB=∠PAC，AB=AC，

∴△BQA≌△CPA（SAS），∴BQ=CP.

（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：

∵∠QAP=∠BAC，

∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，

即∠QAB=∠PAC.

在△QAB和△PAC中，AQ=AP，∠QAB=∠PAC，AB=AC，

∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP.

通过证明过程我们发现，两题证法的步骤、依据都一样.在这一变式题中，证明过程都不复杂，而且上述结论都成立.但通过对原题的图形适当地变形，有利于激发和培养学生的探索精神，培养思维的灵活性.

又如，在勾股定理的简单应用中，我给学生出了这样几道题：

（1）如图6所示，三个正方形中的两个面积分别为25和46，则第三个正方形的面积为.

（2）如图7所示，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是.（S1+S2=S3）

（3）如图8所示，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AB=40，BC=24，试求以AC为直径的半圆的面积.

图6

图7

图8

通过对（1）、（2）、（3）题的解法引导学生反思此类题型的解题规律，图中的S1，S2，S3都是由直角三角形三边向外做的而且都相似，则面积一定有S1+S2=S3.

（4）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图9所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=.

图9

这一组变式题，解答过程都不复杂.但通过对原题的图形适当地变形，适度地引申，使多题的问题变为一讲，这样有利于激发和培养学生的探索精神.在数学复习中，也充分证实了这一点，不仅活跃了课堂气氛，学生们的思维广阔性也得到了发展.

三、反思题目隐含条件，提高思维全面性

解数学题时往往有这么一种现象：对有一些含有附加条件的问题简单易解，但结果经常出错，原因是学生没有充分考虑条件中隐含的深层含义，挖掘所有的内容.

如，先化简1+1x-1÷xx2-1，再任意选择一个你喜欢的x值代入并求值.

解原式=x+1（解略）.当x=0时，原式=1.

反思错解原因，此题关于化简比较简单，但在求值时题目没有给出字母的具体取值，看起来简单但实际要求更高.虽然化简结果x+1中x的取值不受限制，但实际解题中还需考虑分式是否有意义这一隐含条件.故本题x的取值中1，-1，0都不能取到.

又如，已知a-b=2，（a-1）（b+2）

（1）求a的取值范围；

（2）若a2+2ab+a+b2-b=38，求a+b的值.

解（1）∵（a-1）（b+2）

又∵a-b=2，∴a<-2.

（2）∵a2+2ab+a+b2-b=38，

∴a2+2ab+b2+a-b=38，

∴a2+2ab+b2=36，

即（a+b）2=36，∴a+b=6或-6.

反思错解原因，本题共有两问：（1）由题目已知条件直接求出a的取值范围；（2）通过化简得到（a+b）2=36，进而得到a+b=6或-6.固然没错，但由（1）我们易得a，b都为负数，所以a+b=-6.

通过这些题的反思训练，使学生们领悟到审题一定要仔细，要注意对隐含条件的挖掘，提高思维的全面性.“吃一堑，长一智”，从错误中得到的教训，更能发人深思.

四、反思数学思想，培养思维的创造性

数学思想方法主要有函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合，而初中学生运用较多的是方程、数形结合、分类讨论的思想，这几种思想方法要注意在平时教学过程中渗透给学生.

例如，一个三角形三个内角之比为2∶3∶4，求这三个角的度数.这道题就可以运用方程的思想解题.设三个角的度数分别为2x，3x，4x，则有2x+3x+4x=180，从而得出答案.

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.

图10

例如，如图10所示，在y轴上求一点P，使△PAO为等腰三角形，求出满足条件的P点的坐标.

本题所求P点满足△PAO为等腰三角形，但没说谁是腰谁是底，故要进行分类讨论：

① 当OA为腰时，求出P点的坐标（3点）；

② 当OA為底时，求出P点的坐标（1点）.

又如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数.

对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论.

如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观.现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值？桨溉缦拢喝缤？11所示，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形的小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值.为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为n（n+1）2，即1+2+3+4+…+n=n（n+1）2.

图11

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化、相互渗透.

总之，灵活地运用数学思想方法解题，会使解题显得更为游刃有余，要注意在解题教学的过程中注意渗透给学生，让学生在潜移默化中学会运用数学思想方法解题.

五、反思思维过程，培养思维的灵活性

解题的关键是从已知和未知中寻找解题途径，学生在做完一道题后的反思，不仅是简单回顾或检验，而应根据题目的基本特征与特殊因素，进行多角度、多方位的观察、联想.反思自己的解答过程，分析比较，找出最佳解法.在解题中培养和发展学生思维的灵活性.

图12

例如，如图12所示，四边形ABCD中，∠C>90°，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，AB=3，tanA是关于x的方程x2-23x+14（m2-2m+13）=0的一个实数根，求tanA.

对于此题，很多学生在解题时，没有清晰的思路，一开始就从tanA是关于x的方程x2-23x+14（m2-2m+13）=0的一个实数根去考虑，直接将tanA代入计算但很快发现行不通，因为一个方程出现两个未知数根本没法解.于是在点评时，我鼓励大家反思题目已知条件，既然从tanA入手有困难，何不以方程有实数根入手试试看？学生受到启发：关于x的一元二次方程有根，得出Δ≥0，从而得到Δ=-m2+2m-1=-（m-1）2≥0，（m-1）2≤0，得m=1，从而得到解答.

又如，在利用函数图像求不等式解集的教学中我补充了这样3道题：

图13

（1）根据图13所示的图像，指出：

① x取什么值时，函数值y等于零？

② x取什么值时，函数值y始终大于零？

本题对学生来讲并不难，因为题目就一条直线，函数值y的大小很容易判断.但在教学过程中我发现不少学生都不习惯看图而是通过计算求出取值范围.

于是我给出了第（2）题：

图14

（2）对照图14所示的图像，请回答下列问题：

① 当x取何值时，2x-5=-x+1？

② 当x取何值时，2x-5>-x+1？

③ 当x取何值时，2x-5<-x+1？

这时发现大部分學生还是通过计算得到，只有少部分学生懂得看图.

紧接着我给出第（3）题：

图15

（3）如图15所示，观察图像并回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（已知一次函数关系式为y=-x-1，反比例函数关系式为y=-2x）

这时学生如果还想像刚才（1）（2）题一样通过计算得到，就会发现计算比较烦琐，甚至算不出来.于是我趁热打铁，把握时机，引导学生看图，观察能不能用“从优”“从快”的方法解决此题，让学生反思题目条件，观察图像直接回答，进一步让学生通过反思探索，归纳与函数图像有关的不等式解集的求法.总结解答此类题目的有效方法，使学生思维的灵活性在变换和化归的训练中得到培养和发展.

总之，解题反思是一门很深的学问，还包括很多方面，但是学生在每次解题过程中如能先思考题目特征，观察隐含条件，对解题过程中反映的数学思想、解题规律、思维过程进行总结、概括，这样，不仅能巩固知识，避免解题错误，还可以把解决问题的数学思想方法及对问题的再认识转化为一个学习过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，优化他们的数学思维，提高学习的效率.endprint