论规范教学的重要性

刘小君

课后作业是以巩固学习效果而安排的作业，是课堂教学过程中非常重要的组成部分，是巩固新学知识、形成技能技巧、培养良好的思维品质、发展学生智力的重要途径，是课堂教学过程中不可缺少的一環.

学生的规范解题可以彰显其数学素养，或者对其数学成绩的提高也会有一定的作用，然而学生的规范解题来自于数学教师的规范教学，具体包含言行规范、板书规范、教材使用规范、推理论证规范、教法规范、运算求解规范、解题格式规范以及创新教学规范等.

案例（普陀中学高二第二次校考模拟卷第20题）

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x33-x2-2ax.

（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；

（2）若y=f（x）在[3，+∞）上不是单调函数，求实数a的取值范围；

（3）当a=-12时，方程f（1-x）=（1-x）33+bx有实根，求实数b的最大值.

一、作业说明

本题对学生的要求比较高，考查对导函数、命题的等价条件等知识的综合应用，学生虽然感觉很困难，但还是尽其所能.虽然结果不是很让人满意，但呈现出的问题值得学生以及教师思考、反思.

二、作业批改情况

（一）常见问题

第（1）小题：

① 部分学生对复合函数的求导法则不清楚；

② 由f′（x）=0得出a=0，没有验证是不是极值点.

第（2）小题：

① 不能正确理解“y=f（x）在[3，+∞）上不是单调函数”，找不到其等价命题；

② 忽略了y=f（x）的定义域对a的范围的限制；

③ 不能正确解答不等式；

④ 最后未总结得出a的取值范围.

问题解法：f′（x）=x[2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）]2ax+1，由题意知f′（x）=0在[3，+∞）内有实数解.

令G（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），则G（x）=0在[3，+∞）内有实数解.

a=0，不符舍去；

a>0，G（3）<0，解得a∈3+134，+∞；

a<0，G（3）>0，解得a∈3-134，0；

综上，a∈3-134，0∪3+134，+∞.

问题原因：题中[3，+∞）决定了函数的定义域的范围，学生忽略了这一条件对a的取值范围的影响.这也是学生在平时作业、考试中经常犯错的地方，因为忽略函数的定义域而导致求解错误，这一问题常见于对数函数、反比例函数、正切函数及复合函数中，学生需引起注意，否则，“成千古恨”.

第（3）小题：

① 不能得出原命题的等价命题；

② 此题对学生构造函数的能力要求较高；

③ 忽略了构造后的函数的定义域.

问题解法1：当a=-12时，方程f（1-x）=（1-x）33+bx可化为lnx-（1-x）2+（1-x）=bx，

令h（x）=lnx+x-x2（x>0）则h′（x）=1x+1-2x=（2x+1）（1-x）x，所以当00，从而h（x）在（0，1）上为增函数；

当x>1时，h′（x）<0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数.

因此，h（x）≤h（1）=0.∴bx≤0，又x>0，∴b≤0，即b的最大值为0.

问题原因：忽略了在lnx-（1-x）2+（1-x）=bx中，左右两边的x是同时存在的，而不是独立存在的，这样做题，就曲解了题目的意思，虽然结果是一样的，但过程所体现的思想、逻辑完全不同，可以说，学生的这种逻辑是错误的.

问题解法2：当a=-12时，方程f（1-x）=（1-x）33+bx可化为b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，令g（x）=xlnx+x2-x3，则g′（x）=lnx-3x2+2x+1.

注意到，当x=1时，有g′（x）=0，∴当x=1时，b取得最大值0.

问题原因：学生猜测b的最大值在g′（x）=0时取得，逻辑不严谨，这也是因为学生没有继续研究y=g′（x）的导函数的性质所致.

接下去进一步完善学生的解法得到b的最大值为0.

三、教学建议

1.注重数学教学中常见词“极值点”“单调函数”“有实根”的理解；

2.注重学生读题、审题能力的培养，首先要分清已知、未知条件，再寻求题目的等价命题；

3.在平时的训练解题中，应重视学生的数据处理能力和运算求解能力的提高培养；

4.教师在平时的教学中应注重对应用类题型及相应解题策略的归纳与总结，帮助学生归纳总结；

5.教师应加强创新教学的探索与研究，努力形成学生“发现问题—分析问题—解决问题—提出问题”的学习模式.

师者，传道授业解惑也.为学之道，贵在多疑，对于习题、试题中的疑问，教师应立足“道而弗牵”“授人以渔”，不仅让学生了解解题过程、掌握答题方法和技巧，更要注重对答题规范素养的提高.教学的规范化有助于学生在高考中发挥出自己的真实水平，也有利于培养规范有序、严谨的科学态度.这对学生将来在社会上从事任何工作都是十分重要的.