小心“直线与圆的误区”忽悠你

■刘大鸣（特级教师）

小心“直线与圆的误区”忽悠你

■刘大鸣（特级教师）

对于直线与圆的问题，同学们容易在概念的理解和应用上出现片面化，在解题过程中容易出现漏解或增解，从而导致“会而不全”的误区。本文特别提醒，小心“直线与圆的误区”忽悠你。

忽悠1：忽视倾斜角的取值范围

例 1 直线（2t—l）x—（2t+2）y+l=0（t∈R）的倾斜角为α，则α的取值范围是____。

因为2t+l＞l，可得—l＜所以—l＜tanα＜l，则倾斜角α的取值范围是 [—l35°，l35°]。

剖析：上述解法忽视了直线倾斜角的定义及倾斜角的取值范围。

由上述解法可知—l＜tanα＜l。

由倾斜角α∈ [0 ，l 80°），可知0≤α＜45°或l35°＜α＜l80°。

警示：直线的倾斜角的取值范围为[0，l80°）。对于倾斜角α，当α=90°时，直线的斜率不存在；当α∈[0°，90°）时，倾斜角越大，斜率越大；当α∈（90°，l80°）时，倾斜角越大，斜率越小。

因为0°≤θ＜l80°，所以θ=30°。

忽悠2：忽视截距为零的特殊情况

例 2 求过点（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

错解2：因为直线在两坐标轴上的截距相等，可知斜率为±l，且点（2，3）在该直线上，所以所求的直线方程为x+y—5=0或x—y+l=0。

剖析：错解l忽视了斜率不存在的情况，错解2认为直线不过原点。

事实上，直线的斜率为l，截距互为相反数，这时不合题意。

截距相等可分截距为0与截距不为0两种情况。当截距不为0时，可用直线的截距式方程求解，也就是错解l所求的直线方程，即x+y—5=0。当截距为0时，直线过原点，其斜率为，即3x—2y=0。

故所求的直线方程是x+y—5=0或3x—2y=0。

警示：当题设中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“截距的绝对值相等”等条件时，要注意截距为零的情况。本题也可设直线方程为y—3=k（x—2），再根据截距相等列方程求k的值，可避免漏解的发生。

同步训练2：直线l过点P（4，—l），若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为____。

提示：若直线在两坐标轴上的截距都为0，即直线过原点，直线的斜率，这时直线l的方程为x+4y=0；

故所求直线l的方程为x+4y=0或x+y—3=0。

忽悠3：忽视斜率不存在的情况

例 3 讨论直线ax+y—2=0与直线x—ay+3=0的位置关系。

错解：两条直线的斜率分别为kl=—a，可知两条直线互相垂直。

剖析：上述解法忽视了直线的斜率不存在的情况。

当a≠0时，两条直线的斜率分别为kl可知两条直线互相垂直；

当a=0时，两条直线方程为y=2和x=—3，显然两条直线互相垂直。

综上所述，直线ax+y—2=0与直线x—ay+3=0互相垂直。

警示：利用klk2=—l判断两条直线垂直时，两条直线的斜率都必须存在。当两条直线中的一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，即一条直线平行于x轴，另一条直线垂直于x轴时，两条直线也互相垂直。

同步训练3：已知直线ll：ax+2y+6=0与l2：x+（a—l）y+a2—l=0平行，则实数a的值是（ ）。

A.—l或2 B.0或l

C.—l D.2

提示：设直线ll：alx+bly+cl=0，l2：a2x+b2y+c2=0。

由ll∥l2⇔alb2—a2bl=0且alc2—a2cl≠0，可知选C。

忽悠4：求直线交点问题中分类不全

例 4 三条直线ll：x—2y+l=0，l2：x+3y—l=0和l3：ax+2y—3=0共有两个公共点，求a的值。

错解：由直线ll和直线l2可得方程组即直线l：xl—2y+l=0与直线l2：x+3y—l=0交于点

由三条直线共有两个公共点，可知ll∥l3或l2∥l3。

由l3：ax+2y—3=0，可得解得

剖析：上述解法对两个公共点问题的情况分析不到位，忽视了特殊情况，从而产生了漏解。

①当两个公共点不相同时，由上述解法可得a=—l或a=2。

3

警示：求直线的交点时要依据交点个数合理分类，特别注意不要遗漏了特殊情况。

同步训练4：若直线ll：y=kx+l与l2：x—y—l=0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ）。

A.k＞l

B.—l＜k＜l

C.k＞l或k＜—l

D.k＜—l

忽悠5：忽视公式成立的条件

例 5 求两条平行直线ll：6x+8y=ll和l2：3x+4y—l5=0间的距离。

警示：求两条平行直线间的距离，也可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两条平行直线间的距离问题，转化为点到直线的距离问题求解。

同步训练5：若两条平行直线ll：x—2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny—6=0间的距离是，则m+n=（ ）。

A.0 B.l

C.—2 D.—l

提示：由ll∥l2，可得解得n=—4，即得直线l2：x—2y—3=0，所以两条平行直线间的距离解得m=2。故m+n=—2。应选C。

忽悠6：忽视两点间距离公式的几何意义

剖析：上述解法在利用消元法求最小值时，忽视了x的取值范围。

因此，可过原点O（0，0）作直线2x+y+5=0的垂线，由点到直线的距离公式求垂线段的长即可。所以

警示：利用点到直线的距离公式求解此题，凸显数形结合思想方法的应用。

提示：利用数形结合法，求点Q（3，—5）到直线2x+y+5=0的距离即可。根据点到直线的距离公式可求得

忽悠7：忽视圆方程的隐含条件

例 7 讨论方程x2+y2+2ax—b2=0表示的曲线的形状。

错解：显然，此方程所表示的曲线是圆。

剖析：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程配方可得，由此可通过判断等式右边的符号来确定方程所表示的曲线，但要注意对参数的讨论。

方程x2+y2+2ax—b2=0配方可得x+a（）2+y2=a2+b2。

当a2+b2=0，即a=b=0时，方程x2+y2+2ax—b2=0表示点（0，0）；

当a2+b2＞0时，方程x2+y2+2ax—b2=0表示以（—a，0）为圆心，为半径的圆。

综上可知，所给方程表示点或圆。

警示：把握二元二次方程表示圆的条件是解答本题的关键。

同步训练7：证明方程x4—y4—4x2+4y2=0表示的图形为两条相交直线和一个圆。

提示：因为x4—y4—4x2+4y2=（x2—2）2—（y2—2）2=0，所以x2—2=±（y2—2），即x2=y2，x2+y2=4，也就是y=±x，x2+y2=4。

故原方程表示两条相交直线和一个圆。

忽悠8：选择圆方程的形式不当

例 8 在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2—6x+l与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程。

剖析：利用圆的一般方程的运算量较大，因此上述解法的计算出错了。把握圆的几何性质，巧设圆心坐标，可使运算过程简单化。

曲线y=x2—6x+l与y轴的交点为（0，l），与x 轴的交点为（3+2，0），（3—

故所求圆C 的方程为（x—3）2+（y—l）2=9。

警示：利用待定系数法求解圆的方程的关键是选择方程的形式。

同步训练8：抛物线y=x2—2x—3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为（ ）。

A.x2+（y—l）2=4

B.（x—l）2+（y—l）2=4

C.（x—l）2+y2=l

D.（x—l）2+（y+l）2=5

提示：抛物线y=x2—2x—3与坐标轴的交点为（—l，0），（3，0），（0，—3）。

由圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2—4F＞0），把交点代入此方程可得解得D=—2，E=2，F

=—3。故所求圆的方程为x2+y2—2x+2y—3=0，即（x—l）2+（y+l）2=5。应选D。

忽悠9：忽视对参数的分类讨论

例 9 设A（—c，0），B（c，0）（c＞0）为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离的比为定值a（a＞0），求点P的轨迹。

剖析：上述解法忽视了对参数的分类讨论。

设动点P的坐标为（x，y）。由题意可得（l—a2）x2+2c（l+a2）x+c2（l—a2）+（l—a2）y2=0，注意到此方程的二次项系数相同的特征，可分类研究。

当a=l时，方程可化为x=0，其轨迹为直线；

其轨迹为圆。

综上可知，当a=l时，点P的轨迹为y轴；当a≠l时，点 P 的轨迹是以点半径的圆。

警示：解答本题的关键是掌握二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件。

同步训练9：如图l，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x—4。

设圆C的半径为l，圆心在直线l上。

图l

提示：因为圆心在直线l：y=2x—4上，所以圆C 的方程为（x—a）2+[y—2（a—2）]2=l。

设点 M（x，y）。

由题意可知点M（x，y）在圆C上，所以圆C与圆D有共同点，则|2—l|+l，即l≤，整理得—8≤5a2—l2a≤0，解此不等式得圆C的横坐标a的取值范围为

忽悠10：概念理解不清

例 10 已 知 点 Pl（xl，yl）是 圆C：f（x，y）=0上的一个定点，P2（x2，y2）是圆C：f（x，y）=0外 的 一 个 定 点，则 方 程f（x，y）+f（xl，yl）+f（x2，y2）=0所表示的曲线是（ ）。

A.直线 B.圆

C.抛物线 D .不确定

错解：应选A。

剖析：由于对曲线方程的概念的理解不清，从而导致错选。

因为点 Pl（xl，yl）是圆C：f（x，y）=0上的一个定点，所以f（xl，yl）=0。

因为 P2（x2，y2）是圆C：f（x，y）=0外的一个定点，所以f（x2，y2）是一个不为零的常数，可知f（x，y）+f（xl，yl）+f（x2，y2）=f（x，y）+f（x2，y2）=0仍表示一个圆。应选B。

警示：理解圆方程的概念是解答本题的关键。

同步训练10：下列四个命题中，假命题是（ ）。

A.经过定点 P（x0，y0）的直线不一定都可以用方程y—y0=k（x — x0）表示

B.经 过 两 个 不 同 的 定 点Pl（xl，yl），P2（x2，y2） 的 直 线 都 可 以 用 方 程（y — yl）（x2—xl）=k（x — xl）（y2—yl）表示

D.经过定点Q（0，b）的直线都可以表示为y=kx+b

提示：利用直线方程的定义和表达式进行判断。应选D。

忽悠11：忽视几何条件的限制

例 11 已知圆x2+y2=4，过点A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点P的轨迹方程为____。

错解：设割线的方程为y=k（x—4），弦BC中点P的坐标为（x，y），则入y=k（x—4）消去k，可得所求轨迹方程为（x—2）2+y2=4。

剖析：上述解法忽视了圆的弦的中点在圆的内部的情况。

易知轨迹应在已知圆内的部分，且x的取值范围是0≤x＜l。

故所求弦BC中点P的轨迹方程为（x—2）2+y2=4（0≤x＜l）。

警示：解答本题的关键是求解轨迹方程时要注意实际问题中变量的取值范围。

同步训练11：点P4，—2（）与圆x2+y2=4上任一点连接的线段的中点的轨迹方程为（ ）。

A.x—2（）2+y+l（）2=l

B.x—2（）2+y+l（）2=4

C.x+4（）2+y—2（）2=4

D.x+2（）2+y—l（）2=l

提示：设所求的中点坐标为Ax，y（），圆上一点设为B（x′，y′）。

忽悠12：忽视变量的取值范围

由于直线l与曲线C有两个公共点，所以方程（*）的判别式Δ=4b2—8（b2—l）＞0，解得—

同步训练12：若曲线y=与直线kx—y—2k+4=0有两个相异的交点，则实数k的取值范围是（ ）。

显然当直线过点A（—2，l）时有两个交点，此时kPA当直线与圆相切，即直线在PB位置时有一个交点（即切点），此时

图2

由图2可知，当直线在PA（含PA）与PB（不含PB）之间移动时均符合题意，故

忽悠13：忽视两圆外切（或内切）的条件

例 13 已知集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x—3）2+（y—4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是____。

错解：因为A∩B中有且仅有一个元素，所以圆Cl：x2+y2=4与圆C2：（x—3）2+（y—4）2=r2相外切，则，解得r=3。

剖析：上述解法忽视两圆内切的情况，从而导致漏解。

当两圆内切时，只能是圆Cl内切于圆C2，所以=r—2=5，解得r=7。

故所求r的值为3或7。

警示：涉及两圆相切的问题，往往需要考虑两圆外切或内切的情况进行分类讨论。

同步训练13：若圆Cl：x2+y2=l6与圆C2：（x—a）2+y2=l相切，则实数a的值为（ ）。

A.±3 B.±5

C.3或5 D.±5或±3

提示：参考例l3的解法，可知所求a的值为±5或±3。应选D。

陕西洋县中学

（责任编辑 郭正华）