例析直线与方程中的错解

■张亮昌 廖庆伟

例析直线与方程中的错解

■张亮昌 廖庆伟

直线与方程是学习解析几何的基础。学习直线方程必须掌握直线的倾斜角和斜率的概念、直线方程的基本形式。求解直线与方程问题，应仔细审题，熟练运用相关概念，以防解题出现错误，下面举例分析之。

一、对直线的倾斜角与斜率的概念理解不清致错

例1 下列说法正确的是____。（只填写正确的序号）

①直线xtanα+y+2=0的倾斜角为α；

②直线x=20l8的斜率为0；

③若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα；

④所有的直线都有倾斜角，但不一定有斜率。

错解：由直线xtanα+y+2=0，可知其倾斜角为α。答案为①。

错因分析：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系。

所有直线都有倾斜角，且倾斜角的取值范围是[0，l80°），当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在。

正解：对于①，直线xtanα+y+2=0的倾斜角的正切值为—tanα，即此直线的斜率为k=tanα，①错误。

对于②，直线x=20l8的倾斜角为90°，其斜率不存在，②错误。

对于③，直线的倾斜角为90°时，此直线的斜率不存在，③错误。

对于④，任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率，④正确。答案为④。

二、忽视直线倾斜角与斜率的关系致错

例 2 已知直线l经过点P（20l8，l），Q（20l7，m2）（m∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）。

因为直线的倾斜角α∈[0，π），所以直线l的倾斜角的取值范围是应选A。

错因分析：数形结合法是解析几何中的重要方法。当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y=tanα的单调性求α的范围。

由于直线的倾斜角α∈[0，π），根据正切函数y=tanx的图像，所以α＜π。

三、混淆截距与距离致错

例 3 已知直线l的斜率为—5，与两坐标轴围成的三角形的面积是l0，则直线l的方程为____。

错解：设直线l：y=—5x+b，令x=0得y=b，令y=0得

因为截距b＞0，所以所求直线l的方程为y=—5x+l0。

错因分析：直线在x轴（y轴）上的截距是直线与x轴（y轴）交点的横（纵）坐标，截距可以是正值、零或负值。

正解：设直线l：y=—5x+b，令x=0得y=b，令y=0得

故所求直线l的方程为y=—5x+l0或y=—5x—l0。

四、考虑问题不全致错

例4 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（—l，—2），（3，l），（0，2），求平行四边形第四个顶点的坐标。

错解：设A（—l，—2），B（3，l），C（0，2），第四个顶点D的坐标为（x，y）。

由ABCD为平行四边形，结合中点坐标

所以点D的坐标为（—4，—l）。

错因分析：上述解法忽视了四边形ABDC和四边形ADBC是平行四边形，从而导致漏解。解题时，首先应将已知三点和所求第四点进行排序，然后设出所求点的坐标，最后应用平行四边形的性质和中点坐标公式进行求解。

正解：设A（—l，—2），B（3，l），C（0，2），第四个顶点D的坐标为（x，y）。

①若四边形ABCD是平行四边形，则由中点坐标公式可得方程组所以点D的坐标为（—4，—l）。

②若四边形ABDC是平行四边形，则由中点坐标公式可得方程，，所以点D的坐标为（4，5）。

③若四边形ADBC是平行四边形，则由中点坐标公式可得方程组所以点D的坐标为（2，—3）。

综上所述，所求平行四边形第四个顶点的坐标为（—4，—l）或（4，5）或（2，—3）。

例 5 已知直线ll：（t+2）x+（l—t）y=3与l2：（t—l）x+（2t+3）y—5=0垂直，则实数t的值为____。

错解：因为直线ll与l2垂直，所以kl·，解得t=±l，即所求实数t=±l。

错因分析：当直线ll，l2的斜率都存在时，若kl·k2=—l，则直线ll，l2垂直。上述解法没有注意直线斜率不存在的情况，从而导致漏解。

正解：①当直线ll，l2的斜率都存在，即t解得t=±l，可知t=—l时，直线ll⊥l2。

②当直线ll的斜率不存在时，t=l，这时直线ll的方程为x=l，直线l2的方程为y=l，显然直线ll⊥l2，满足题意。

③当直线l2的斜率不存在时这时直线ll的方程为x+5y—6=0，直线l2的方程为x=—2，显然ll与l2不垂直，不合题意。

综上可知，满足条件的实数t的值为l或—l。

湖北巴东县第三高级中学

（责任编辑 郭正华）