语言转换中建构数学模型

卢清荣

《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求让学生经历模型猜想—验证—解释—运用的过程。建立和求解模型能提高学生的学习兴趣和应用意识。小学数学教科书由实物照片、图形、图文结合、文字、符号等构成，这些图形、文字、符号就是数学语言。数学语言按其形式一般分为图形语言、文字语言、符号语言三类。数学教学是数学语言的教学，数学知识学习的过程就是数学语言不断生成、运用、内化的过程。学生学习数学知识时如果能灵活运用数学语言并转换，有利于他们熟练建构数学模型。张丹教授执教的“长方体的体积”这节课，在培养学生数学语言转换能力方面给我们做了很好的示范。

【片段一】模型准备中图形语言转换为文字语言

师（出示长方体图形）：长方体的体积可能与什么有关？大胆猜想一下。

生1：可能与面积有关。

生2：可能与长、宽、高有关。

生3：可能与表面积有关。

生4：可能与棱长有关。

【赏析】问题是思维的起点，也是探究的动力。提出一个问题往往比解决一个问题更重要。上课伊始，张教授直奔主题，提供一个长方体图形，让学生观察并猜想长方体的体积与什么有关。观察图形帮助学生唤醒长方体的特征、计算等知识经验，建立相关知识与体积之间的关系。学生根据图形提出猜想的过程就是图形语言转换为文字语言的过程。学生在思考的基础上提出符合自身认知经验的问题，激发他们思考问题的兴趣和好奇心，为认识长方体体积模型做好充分准备。

【片段二】模型建构中图形语言转换为符号语言

师：谋划谋划，要怎样研究？老师为你们提供了一些学具。

（教师出示一些体积是1立方厘米的小正方体木块。学生动手操作：有的用尺量，有的画图……但大部分学生不知所措。）

师：可能有的同学还不知道体积。什么是长方体的体积？

生：长方体所占空间的大小就是长方体的体积。

师：（举起1立方厘米的小正方体）这是什么？

生：1立方厘米的小正方体，是体积单位。

师：老师发现个别同学有思路了。请这位同学给大家介绍一下她的想法。

生：可以用这样的体积单位搭一个相同的长方体，就可以知道它的体积了。

师（学生搭长方体后）：谁来说说你手里的长方体的体积怎样求？

生：长方体的体积等于长乘宽乘高。

师：你是怎么想的？

生：我是用小正方体搭的（图1）。

师：同学们认真观察一下，看她搭的长方体的体积是——

生：3×2×2=12。

师：你们有问题要问她吗？

生1：3是什么？

生2：长方体的长是由3个小正方体摆成的。

生3：3×2是什么意思？

生4：表示一个面的面积。

（教师举起其中一层，验证3×2是表示其中一层的面积。）

师：那为什么还要乘2？

生：有2层。

师：这个长方体体积是3×2×2。长方体体积是不是就等于长乘宽乘高呢？

生：是。

师（出示图2）：老师用小正方体摆了个长方体，这个长方体的体积是多少呢？

生：4×2×3。

师：为什么是4×2×3呢？

生：4×2表示一层有8个小方块，有这样的3层，一共是24个。

师：他先求一层有几个小方块。有3层就再乘3，就把这个长方体的体积求出来了，你们同意吗？

生：同意。

师：无论是刚才那位同学搭的，是你们自己搭的，还是老师搭的这个长方体，你们觉得长方体的体积应该怎么求？

生：长方体的体积等于长乘宽乘高。

【赏析】计算长度、面积、体积的本质是相同的，都是计算图形中包含多少个这样的度量单位。计算长方体的体积时，从整体中“分出”多少个体积单位，学生一般缺少这方面的思维经验，因此，“分出”计量单位个数的方法不易操作和被发现。转换思维视角，用n个体积单位拼成一个大长方体，让学生直观操作并感知长方体的体积实质就是n个体积单位聚合的思维形式，学生更容易接受。张教授准确把握学情并提供研究材料，引导学生用拼搭的方法从部分到整体理解长方体的长宽高与小正方体个数的关系，引导学生验证猜想并推理论证，3×2既可以表示每排3个摆2排，需要6个小正方体；还可以理解为3表示长，2表示宽，长乘宽等于底面积；3×2×2既可以表示大长方体中包含小正方体的个数，又可以表示长宽高的积。用数数的方法得到小正方体的总个数就是这个长方体的体积，用3×2×2也表示长方体的体积。把数小正方体个数转化为列式计算的过程，其实就是把图形语言转换为符号语言的过程，学生初步建立了长×宽×高与体积的关系。教师再次举例，放手让学生充分探究、验证、说理，长方形体积模型在数学语言转换中得以凸显。

【片段三】模型确立中符号语言转换为文字语言

师：所有长方体的体积都等于长×宽×高吗？

（学生犹豫。）

师（出示图3）：这个长方体的体积是8×4×4吗？

生：用棱长1厘米的小方块摆，长可以摆8个，宽可以摆4行，高可以摆4层。

师：你们能想象出來吗？

（课件出示拼摆过程，很多学生露出惊喜的表情。）

师：长方体的体积就是长×宽×高，你信吗？

生：信。

师：长乘宽就是什么？

生：底下一个面的面积。

师：高是什么？

生：几层。

师：如果再给你一个长7、宽6、高4的长方体，它的体积是7×6×4吗？

生：是。

师（指向长方体抽屉）：这个长方体的体积是长×宽×高吗？

生：是。

师：我们回忆一下，刚才我们提出了一个话题“长方体的体积”，然后我们想到了操作、猜想、验证，把长方体“体积=长×宽×高”由“？”变成了“。”。

【赏析】荷兰的数学家弗赖登塔尔认为：学生学习数学知识的过程是他们“再创造”的过程。“再创造”的过程就是学生分析问题、理清数量关系、抽象概括、建立模型的过程。张教授为了让学生深入验证长方体的体积就是长乘宽乘高，向学生提供了8×4×4的算式，让学生说它是否表示长方体的体积，学生通过举例和空间想象，分析每个符号所表示的图形意义，长方体体积模型公式在推理中明确建立。从算式符号到空间想象，符号语言转换为图形语言，再用文字语言抽象、概括长方形的体积计算模型，数学语言转换帮助学生清晰建构数学模型，还让学生清楚知道知识“是什么”和“为什么”。

【片段四】模型拓展中文字语言转换为文字语言

师：还有其他新的问题吗？

生：正方体的体积怎么求？

师：如果正方体的棱长是6呢？

生：6×6×6。

师：大胆地想一想，你还能求出哪些立体图形的体积？

生：圆柱。

师（指向话筒的圆柱部分）：你有想法吗？

生（指着底面）：先求底下这个面的面积再乘层数。

生：半径乘半径乘高。

师：她大胆猜想，但有点小问题。等你们学了圆的面积就知道了。还想知道什么立体图形的体积？

生：三棱柱。

师：怎样求它的体积？

生（指着三棱柱的底面三角形）：求出这个面的面积再乘高。

师：还想知道什么立体图形的体积？

师：只要什么，就——

生：只要是立体图形，知道它的底面积和高就能求出体积。

师：你们认为呢？

（学生交流得出：只要是规则的、上下一样粗的立体图形，都可以用底面积乘高求出它的体积。）

【赏析】日本数学教育家米山国藏说：“学生们所学到的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘掉了，然而那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期在他们的生活和工作中发挥作用。”我们在教学中要有意识地对学生进行数学思想、数学方法的渗透，提高学生的数学素养。张教授大胆让学生猜想还能求出哪些立体图形的体积，学生基于长方体体积的探究经验，猜想圆柱、三棱柱的体积，建立长方体体积与其他立体图形的体积形体上的共性，抽象、概括出所有立体图形体积的共同本质——每层所摆体积单位的个数乘层数（高）就是体积数。长方体的体积模型扩展为一类立体图形的体积模型，在文字语言转换为文字语言中培养学生迁移、类推能力。学生学习有联系、有结构的数学，有利于立体图形整体认知结构建立。

总之，张丹教授从学生的认知经验出发，引导学生经历模型建构过程，有意识地运用数学语言转換帮助学生有效思维，学生灵活地运用和转换数学语言，长方体体积模型建构轻松自然。

（作者单位：江苏省睢宁县实验小学）

责任编辑 李杰杰

E-mail：731836457@qq.com