高中数学微型探究教学的几点思考①

邱宗如

(厦门市海沧区教师进修学校 361000)

1 问题的提出

“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”是新课程改革的亮点之一，新课程实施以来，探究式教学在提高学生数学素养和培养学生的创新能力方面发挥了重要的作用.然而，近几年的课堂教学实践表明：由于受到教学内容和时间的制约，过程多、操作繁、耗时长的探究式教学的发展遇到了瓶颈，使之难以更好地适应当前的数学课堂.如何在有意义接受式学习的基础上，既能把“探究”元素融入课堂教学中，又能考虑时间因素，注重实效性呢？笔者在教学实践中作了一些有益的尝试，探索出适合数学课堂教学的一种有效途径——“微型探究”.

“微型探究”是指教师根据教材特点与学生实际，选取一个适当的角度，将一节课中的重点、难点、关键等内容拟定适合学生开展的、短时间的、给学生一种探究机会与体验的探究活动.“微型探究”作为数学探究的一种方式，属于课内或课外的定向探究，是由学生的需求与教师的经验相结合提出问题，具有“短”(用时短)、“小”(围绕某个特定的知识点、切口小)、“实”(符合教学实际)、“活”(宽松灵活)等特点.从探究过程来看，“微探究”教学只需完成探究的一个或多个步骤，其他则以教师讲授为辅，使探究式教学和接受式教学这两种教学方式互补共存、和谐统一.以下笔者结合“方程的根与函数的零点”(第1课时)”这节课的几个“微探究”案例，对如何优化课堂教学，发展学生核心素养谈谈自身的一些做法与体会.

2 在课堂教学中开展“微型探究”的策略

2.1 在概念的形成过程中开展“微型探究”，激活学生思维

教材往往以定义的形式直接给出概念，学生对一些定义和符号一时接受比较困难.概念教学要讲过程，因此，教师应精心创设符合学生认知规律的问题，通过设置“微型探究”活动，引导学生积极参与概念形成过程的分析、比较、归纳、抽象、概括等思维活动，使学生的直接经验获得抽象与提升，自然地、水到渠成地实现“概念的形成”，从而实现对知识的意义建构.

微型探究教学片断一：直观感知，理性思考

问题1方程x-1=0，x2-2x-3=0有实数根吗？如果有，是多少？

问题2方程x5+3x-1=0有实数根吗？如果有，是多少？

(通过问题2，使学生认识到大多数方程都不能像一元一次、一元二次方程那样，用公式法求精确解，必须寻找新的方法，从而引发学生强烈的认知冲突.五次及以上方程没有根式解背后的数学史，更凸显了数学文化的教育价值.)

师：次数越高，方程越复杂.数学史上，人们很希望能像低次方程那样去求解高次方程，但经过长期的努力，问题都没有得到解决.1824年，年仅22岁的挪威天才数学家阿贝尔(N.H.Abel，1802—1829)成功地证明了五次及以上的一般方程没有根式解.那么，我们是否还有其他的途径解决方程是否有实数根的问题？

(学生思考后发表自己的看法)

图1

生1：对于问题1，设f(x)=x-1，则f(x)是x的一次函数，方程x-1=0的根就是函数f(x)=x-1的图象与x轴交点的横坐标(如图1).

生2：方程x-1=0的根还是函数f(x)=x-1的值为0时自变量x的值.

师：很好！这样我们就把函数与方程联系起来了.

教师列表(表1)使各种关系更为清晰.

表1

类似地，教师给出函数f(x)=x2-2x-3的图象(图2)，引导学生观察“-1”与“3”，得到表2.

图2

方程x2-2x-3=0函数f(x)=x2-2x-3的图象函数f(x)=x2-2x-3根是-1和3 与x轴交点的横坐标是-1和3 函数值为0时自变量x的值是-1和3

师：好！此方法的要点是：将一元一次、一元二次方程的根转化为相应的函数值为0时自变量x的值，是一种利用函数思想解决问题的方法.

问题3一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象有何联系呢？

学生思考讨论后得到如下结论：

方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根⟺函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标⟺函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值.

师：很好！函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时的实数x，起到了联结方程与函数的作用，我们将这个数称为函数的零点.

问题4你能给出函数y=f(x)零点的一般性定义吗？

生3：我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.

师：大家能否从“数”与“形”两个角度，谈谈对函数y=f(x)的零点的理解？

教师认真倾听学生发言，并绘制如下流程图.

师：在建立函数与方程的联系过程中，实现了“动” 与“静”的转化——“方程的根是一个静态的点，等价转化为“函数的零点”就与运动变化联系上了.

反馈评价1教师从学生最熟悉的一元一次、一元二次方程的问题入手，启迪他们从三个角度认识一元一次、一元二次方程的根，体现了“数”与“形”、“动”与“静”的转化.通过列表、展示，三者的等价关系跃然纸上.由于三次和四次方程实际上都有求根公式，问题本质与二次方程一样，因此教者精心设计了单调的五次方程作为问题2，并顺势介绍著名数学家的成就，既可以激发学生的学习兴趣，又可以让学生感受数学的内部和外部动力以及人类理性思维对数学产生与发展的作用，形成正确的数学观.有了二次函数零点的定义，得出一般函数零点的定义就水到渠成了.通过引导学生经历从简单到复杂，从具体到抽象的概括过程的“微型探究”活动，不仅自然生成了“函数零点”这一概念，而且让学生初步感受了研究函数的方法，使学生真正体验到数学是自然的，不仅讲逻辑，还讲道理.

“微型探究”策略引导：设计“微型探究”问题时必须考虑学生已有的认知，找准探究情境与教学内容之间的有效结合点，设计出合理的、具有思考价值的若干个问题串，通过“微型探究”，让学生体验数学家对数学概念的抽象过程，领悟探索知识的思维方法，由“知其然”发展到“知其所以然”，并体会蕴涵其中的数学思想方法，从而实现学习价值的最大化和最优化.

2.2 在定理的产生过程中开展“微型探究”，培养抽象能力

教材中的数学知识大多是以完整结论呈现的，因而掩去了知识的发生发展过程.因此，需要教师对教材进行“二次开发”，并设置“微型探究”活动，把原本静态形式的数学知识转化为具体动态的教学内容，让学生重走“发现之旅”，促进学生理解数学，高效学习，并使数学思想方法在潜移默化中得到领会和掌握.

微型探究教学片断二：寓理于形，以数释理

问题5求下列函数的零点.

(1)f(x)=3x-2；(2)f(x)=x2-3x+4；(3)f(x)=ex-2-1.

通过问题5，让学生进一步体会函数的零点即对应方程的根.上面三个函数有的有零点，有的没有零点，自然引导学生思考：函数存在零点的条件是什么？于是引出将要研究的问题：函数零点的存在性.

问题6图3 是某地从0时到12时的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用两种不同的曲线将图形补充成完整的函数图象.请问在这段时间内，一定有某时刻的温度为0℃吗？为什么？

问题6起点低，直观性强，且结论开放，适合不同层次学生探究.学生易想到可以用单调上升的曲线连接，但如何设计出另一种连接方法呢？

图3

不拘一格，大胆尝试.—种、两种、三种……，出现了许多教师未曾预设的连接方法，其中包括在区间(a,b) 内有单一零点的函数图象(单调或不单调)，也有多个零点的函数图象；有用线段连接的(如图4，5等)，有用曲线段连接的(如图6，7，8，9等)，还有因为没有注意到条件要求而画错的图形(如图7)，这有利于纠正部分学生对函数概念理解的偏差.教师用实物投影展示(限于篇幅，文中只给出以下几种连接方法).

图4

图5

图6

图7

图8

图9

图10

师：是否存在含有无限个零点的连接图呢？

生4：当线段为与x轴重合时(如图10)，其图象是不间断的，显然该函数有无限多个零点，.

问题7如果0时的温度和12时的温度都在零上(下)，是否一定有温度为0℃的时刻？

问题8对于一般的函数y=f(x)，在区间[a,b] 上有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)一定存在零点吗？

同学们议论起来，很快有学生说“不一定”.

问题9对于一般的函数y=f(x)，满足什么条件时，f(x)在区间(a，b)内存在零点？

反馈评价2为了让学生直观感知零点存在的条件，教者没有把结论直接告诉学生，而是从“温度曲线”这一生活常识出发，循序渐进地引导学生通过观察、思考和操作活动，让学生从熟悉的问题情境中为新知识提供“停靠点”.一组问题串并结合反例，让“直观想象”与“数学运算”比翼双飞，“数学抽象”与“逻辑推理”并驾齐驱，数学核心素养的渗透无处不在.通过“微型探究”活动，顺理成章地获得了零点存在性定理，并把定理中“有”的内涵解释得一清二楚.独特的思考，不同的感悟，使数学中的价值观念、理性精神、思维方式都得到了充分的展现.

“微型探究”策略引导：提升学生的数学抽象能力是课堂探究教学的中心环节，因此在课堂中教师要设计富有思考性的“微型探究”活动，引导学生经历一个从“形”到“数”的认识过程，也就是要经历从几何直观到理性认识的过程，使学生在探索、体验和感悟中促成思考方法的不断优化，提升数学抽象能力，催生学习的智慧.

2.3 在知识的应用中挖掘“微型探究”资源，提升思维品质

数学概念、定理内涵丰富、外延广泛，学生对它的认识不可能一蹴而就，需要经历一个由感性认识到理性认识的循环往复的过程，因此，教师要为学生提供合适的时间和思维空间，挖掘“微型探究”资源，使学生在反思中达成对知识本质的再认识，领悟其奥妙，揭示其深刻性，从而不断升华对概念、定理的理解，完善认知结构，提升数学素养.

微型探究教学片断三：揭示本质，发展思维

第一步:引导反思，深化理解

得到了零点存在性定理之后，教师有意识为学生提供反思的时间，对公式的条件或结论进行“再认识”.

问题10若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且满足f(a)·f(b)>0，则函数f(x)在区间(a,b) 内有零点吗？

问题11若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且满足f(a)·f(b)<0，函数f(x)在区间(a,b)内是否恰有一个零点？

问题12若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且满足f(a)·f(b)<0，还需要满足什么条件时，函数f(x)在区间(a,b) 内恰有一个零点？

问题13若函数f(x)在区间[a,b] 区间上的图象是连续不断的一条曲线，在区间(a,b) 内恰有一个零点.是否一定有f(a)·f(b)<0？

通过质疑探究，能加深学生对数学知识内涵与外延的理解，领悟定理本质；有利于培养学生将知识迁移到新的问题情境中的能力，完善认知结构；有助于培养学生善于质疑、乐于探究、求异创新的精神，这才是数学教学的终极价值.

第二步: 领悟本质，走向深刻

问题14函数f(x)=lnx+2x-6.(1)函数f(x)有零点吗？若有，指出零点的大致区间；(2)函数f(x)有几个零点？为什么？

(一是可以根据零点存在定理求出零点的大致区间；二是引导学生用函数的单调性证明函数f(x)有且仅有一个零点；三是引导学生将本题转化为求两个函数g(x)=lnx，g(x)=6-2x图象交点的个数和交点横坐标的取值范围.)

问题15函数f(x)=lnx+x2-a在区间(1，2)内有一个零点，求a的取值范围.

反馈评价3当方程的根用公式法不能求解时，可通过其相应函数的零点来解决，这正是“方程的根与函数的零点”的教学灵魂.问题14表面上是求函数零点的个数，实质上是为彻底解决方程根的问题寻求新的出路.通过上述问题，让学生体会解方程求函数零点和利用函数零点存在性定理探寻零点的差异，同时，让学生进一步领悟零点的惟一性证明，需要借助函数的单调性并渗透数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，加深了对函数与方程关系的认识与理解，提高了学生解决问题能力.

“微型探究”策略引导： 在进行“微探究”活动

中，教师要根据学生的元认知情况，精心设计问题，让学生通过“微型探究”活动，深化知识内涵，揭示数学本质，感悟解题方法.在具体问题解决后应注重引导学生总结提炼一般方法，使学生对问题的理解与思考达到新的高度.

3 关于实施课堂“微型探究”教学的思考

3.1 创设有效“问题串”，以问题驱动“微型探究”活动

与一般的探究教学相比，微型探究教学有更明确的知识目标；与接受式教学相比，微型探究教学是让学生经历知识的生成过程，通过学生的自主建构获得更多的体验和感悟，从而既保证了课堂教学的有效性，又达到了探究教学的目的.因此，教师要在潜心研究教材、真正理解教材的基础上，充分考虑学生的身心发展“节律”与“最近发展区”，将课本提供的“静态内容”激活，巧妙重组教学内容，设计有效“问题串”，引发学生强烈的“欲达彼岸”的心理需求和“乐此不彼”的求知欲，引导学生亲身经历概念、定理的建构过程，在体验与感悟中培养主动探索、敢于实践、勇于发现的科学精神，从而有效促进学生思维能力和核心素养的提升和发展.[1]

3.2 渗透数学思想，用思想促成数学建构

数学思想是数学的灵魂，是数学知识向能力转化的桥梁.提升学生数学核心素养的关键是提高学生对数学思想的认识，提高学生运用数学思想方法的能力.因此，在数学课堂教学中，应该强调数学思想方法的渗透与概括，引导学生领悟具体内容所反映的数学思想方法.统领本节课的数学思想方法是函数思想，从认知的过程来看，学生要经历一个从直观的“形”到抽象的“数”的概括过程.在教学中，教师通过问题为学生构建一个从从特殊到一般、从具体到抽象的过程，让学生在具体例子中概括出共同本质特征，让数学概念、定理的产生和发展过程和学生认知过程通过数学思想的统领而有机融合，彰显了数学的内在魅力，激发了学生的学习潜能，从而实现学习绩效的最大化.

总之，在实施“微型探究”教学中，教师要善于在知识形成的“关键点”，在运用数学思想方法解决问题策略的“关节点”，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的、具有思考价值的问题串，引发学生的思考与探索，启迪学生思维的深层参与，促进学生理解数学，高效学习，实现数学意识和数学核心素养不断得以提升！