核心素养统领下的立体几何教材变革①

章建跃

(人民教育出版社 100081)

随着新一轮高中数学课程标准、教材修订工作的推进，以数学核心素养为统领的数学教育教学研究迅速成为热点.一个明显的现象是，以(数学)核心素养为关键词的论文大量涌现.其中，理论层面“玩概念”、实践层面“套概念”的做法不少.笔者认为，以数学课程内容为载体，深入挖掘内容蕴含的育人资源，以数学知识发生发展过程和学生认知数学知识的思维规律为参照，设计数学教学过程，构建提升学生核心素养的路径，使学生在掌握“四基”、发展“四能”的过程中实现数学核心素养的发展，这才是实打实的，其实也是在核心素养理论与实践之间架设桥梁的必由之路，因此应成为研究的重点.

在新一轮高中数学教材的研究、编写与实验的过程中，“人教A版”教材编委会就数学教材中如何落实立德树人的根本任务，如何体现发展学生核心素养的基本理念，如何使课改的理想转化为可操作的行动等展开了深入讨论.结果三年多的思考与实践，笔者在数学教材如何为发展学生的核心素养作出独特贡献等问题上形成一些想法.本文以立体几何教材改革为例进行阐释，敬请广大同行批评指正.

1 基本观点

首先以罗列的方式给出一些观点.这些观点是笔者从2014年初组织“人教A版”高中教材修订前期研究开始，经过长期思考、提炼而成，某种意义上也是集体研究的智慧结晶.

(1)数学教育在学生核心素养的发展中具有不可替代性

在“中国学生发展核心素养”三个领域的六大核心素养发展中，数学教育都有不可替代的作用.数学教育要为发展学生核心素养作出自己的独特贡献，特别要在“科学精神”、“学会学习”和“实践创新”上狠下功夫、有所作为.

(2)理性思维是数学核心素养的灵魂，发展学生的思维能力是数学教学的主要目标

数学是思维的科学，这是举世公认的观点，也是我们认识数学课程育人功能的支点.由数学的思维属性所决定，数学核心素养的灵魂是理性思维，数学课程的育人功能主要在于发展学生的科学精神和理性思维，由此也决定了数学教学的主要目标是使学生在获得“四基”“四能”的过程中发展思维能力(特别是逻辑思维能力).要使学生学会思考，特别是学会有逻辑地、创造性地思考，进而使他们成为善于认识问题、善于解决问题的人才；要使学生学会严格的逻辑推理，学会运算的算理和算法；还要使学生学会使用数学语言(特别是符号语言)，能用数学的方式阅读、表达和交流.

(3)数学育人要用数学的方式，要发挥数学的内在力量

在观察现象、认识事物或处理问题时，“数学的方式”是与众不同的.首先，其目标取向是“追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法”，而研究的起点是对面临的具体事物进行数学抽象；其次，数学的思考结构具有系统性、普适性，其“基本套路”大致可以概括为“抽象数学对象——探索数学性质——构建知识体系”；再次，数学的思维方式具有结构性、一致性、连贯性，包括：抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大范围内进行概括，建立更为一般的统一理论等，这是一套严谨的、行之有效的科学方法，是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程中必须使用的思维方式；最后，数学的表达方式具有统一性，使用一套世界通用的符号形式进行交流.数学的思考结构、思维方式和符号化表达正是数学的力量所在，逻辑性强，简明而精确，具有四两拨千斤的功效.

(4)推理是数学的“命根子”(伍鸿熙)，运算是数学的“童子功”

陈建功先生说：片段的推理，不但见诸任何学科，也可以从日常有条理的谈话得之.但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科……忽视数学教育论理性的原则，无异于数学教育的自杀.推理和运算是数学的两个车轮子.因此，数学育人的基本途径是对学生进行系统的(逻辑)思维训练，而训练的基本手段是让学生进行逻辑推理和数学运算，要在推理的严谨性和简洁性、运算的正确性和算法的有效性上有要求.

(5)教好数学就是落实数学核心素养

其内涵是：引导学生通过对具体情境的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题.

要使学生掌握抽象数学对象、发现和提出数学问题的方法，要将此作为教学的关键任务，以实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.

(6)掌握数学知识是发展数学核心素养的前提

离开知识的理解和应用，核心素养的发展将成为一句空话.要让学生真正掌握数学知识，靠掐头去尾烧中段、靠大量解题训练是做不到的.必须让他们经历从数学研究对象的获得到研究数学对象再到应用数学知识解决问题的完整过程.数学对象的获得，要注重数学与现实之间的联系，也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从“事实”出发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程，提升数学抽象、直观想象等素养；对数学对象的研究，要注重让学生经历以“一般观念”(big idea)为引导发现规律、获得猜想，并通过数学的推理、论证证明结论(定理、性质等)的过程，提升逻辑推理、数学运算等素养；应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念原理分析问题，体现数学建模的全过程，使学生学会分析数据，从数据中挖掘信息等，提升数学建模、数据分析素养.

以发展学生数学素养为追求，要根据学生的认知规律，螺旋上升地安排教学内容，特别是要让重要的(往往也是难以一次完成的)数学概念、思想方法得到反复理解的机会.无论是教材还是教学，都要以“事实——概念——性质(关系)——结构(联系)——应用”为明线，以“事实——方法——方法论——数学学科本质观”为暗线，并要强调结合明线布暗线，形成基本数学思想和方法的“渗透—明确—应用”的有序进程，使学生在掌握“四基”发展“四能”的过程中有效落实核心素养.

要做到“两个过程”的合理性，即从数学知识发生发展过程的合理性、学生认知过程的合理性上加强思考，这是落实数学核心素养的关键点.前一个是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题.

(7)教师的专业水平和育人能力是落实核心素养的关键

理解数学、理解学生、理解教学的水平是教师专业水平和育人能力的集中体现，是提高数学教学质量和效益的决定性因素，也是有效地提升学生数学核心素养的关键.当前的问题，首先是有些教师在“理解数学”上不到位导致教学偏差，机械解题训练成为课堂主旋律，而大量题目又不能反映数学内容和思维的本质，使数学学习越来越枯燥、无趣、艰涩，大量学生的感受是“数学不好玩”.

2 核心素养统领下的立体几何教材变革

下面我们从教学目标、教学内容和课时数、内容的处理方式等教材要素入手，对新中国成立以来的教材进行简要分析，并从深化课改的要求出发，提出立体几何教材的继承、发展和改革的创新思路.

对于几何课程的教学目标和教材编写，傅种孙先生早在上世纪20～30年代就明确提出：

几何之务，不在知其然而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然？读定理，既知其然矣；又从而证之，以见其所以然.若此所谓证者，仅口得而传，心不得而求，则此流传二千载，用遍五大洲之十三章经(注：即《几何原本》)，亦特教员专利之秘方耳，曷足贵哉？初中于平面几何之教材，已讲授不少，惟于方法之运用尚欠熟练耳；故高中宜特别偏重焉.本书于第一篇汎论推证之法；而第二篇之于证定理，第四篇之于解作图题，概以方法为经，以教材为纬.凡此种种，皆欲启发学者，示以思维之道耳.

笔者认为，傅先生指出的上述“几何之务”，特别是聚焦在“何由以知其所以然”上，是几何课程的根本目标所在.为了达到这一目标，傅先生提出“以方法为经，以教材为纬”，进而“启发学者，示以思维之道”的教材编写思路，这是几何教材改革的基本指导思想.当前，在几何教材中落实数学核心素养，就是要在“何由以知其所以然”上进行突破与创新.

2.1 立体几何教学目标的发展

以下关于数学课程和几何的教学目标，内容均来自于各时期的教学大纲(或课程标准).下面先简要列举出各时期有代表性的规定.

1.20世纪50年代

几何教学的目的在于系统地研究平面上和空间物体图形的性质，并利用这些性质去解决计算题和作图题；在于发展学生的逻辑的思维和对于空间的想象力，并使他们能运用所学到的知识去解决实际问题：在当地进行测量，测定各种建筑物的面积和容积，作应用于军事方面的简单测量等等.

2.20世纪60年代

总目标：使学生牢固地掌握代数、平面几何、立体几何、三角和平面解析几何的基础知识，培养学生正确而迅速的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力，以适应参加生产劳动和进一步学习的需要.

这是首次提出“三大能力”.几何教学目标是：使学生掌握系统的几何知识，培养推理论证的能力，发展空间想象能力.

3.20世纪80年代

这一时期的数学课程目标以“双基+三大能力(计算能力、逻辑思维能力、空间想象力)+分析和解决实际问题的能力+科学态度和辩证唯物主义世界观”的结构呈现，立体几何的教学要求是：掌握直线、平面的位置关系、多面体和旋转体的性质以及表面积和体积的计算公式，能运用这些知识解决有关问题；掌握直线平面位置关系的画法、简单多面体和旋转体的直观图的画法；逐步发展空间想象力，进一步培养逻辑思维能力.这个要求其实就是几何课程的教学目标，包含几何知识、解决问题、作图技能、空间想象力、逻辑思维能力等方面.

4.20世纪90年代

课程目标延续了已有结构，把“逻辑思维能力”改为“思维能力”，把“科学态度”改为“个性品质”.立体几何教学目标仍然以双基、空间想象力、逻辑推理能力和辩证唯物主义观点为关键词.

5.2003年版课标

认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求.

6.小结

新中国成立以来，立体几何的教学目标有始终不变的要素，即：几何的基础知识、基本技能(特别是画图的技能)、空间想象力、逻辑推理能力、解决实际问题的能力.

新一轮课改更加关注利用几何课程提升学生的直观想象、逻辑推理等核心素养，引导学生以基本图形为载体认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.这里，虽然在语言表达上有一些变化，更加关注“过程”，注重发展学生认识和解决几何问题的能力，但本质上还是以几何知识为载体，使学生在掌握双基的过程中发展相关的能力.笔者认为，在确定几何课程的教学目标时，还是要注意发挥几何的独特育人功能，更加注重几何直观、空间想象和逻辑推理等方面的能力.

2.2 立体几何课程内容、学时变化

下面把各时期教学大纲中规定的课程内容进行列举，然后再做简单分析.

1.20世纪50年代(90课时)

直线与平面(40)：平面位置的确定，直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，平面的垂线和斜线，直线和平面的互相平行和互相垂直间的关系，二面角、平面与平面的垂直关系，多面角.

多面体(30)：棱柱、棱锥和棱台，棱柱、棱锥和棱台的侧面积，棱柱、棱锥和棱台的体积，关于正多面体的概念.

回转体(20)：圆柱、圆锥和圆台，圆柱、圆锥和圆台的侧面积，圆柱、圆锥和圆台的体积，球与球的截面和切面，球面和它的部分的面积，球和它的部分的体积.

2.20世纪60年代(99课时)

直线和平面(40)：平面，直线和直线的位置关系，直线和平面的位置关系，平面和平面的位置关系.

多面体的性质(15)：棱柱，棱锥，棱台，正多面体，欧拉公式.

旋转体的性质(20)：圆柱，圆锥，圆台，球.

多面体和旋转体的表面积、体积(24).

3.20世纪80年代(64课时)

直线和平面(28)：平面，空间两条直线，空间直线和平面，空间两个平面.

多面体和旋转体(29)：棱柱、棱锥、棱台的概念、性质、画法、面积，圆柱、圆锥、圆台、球的概念、性质、画法、面积，球冠及其面积，体积的概念与公理，柱、锥、台的体积，拟柱体的体积，球、球缺的体积.

多面角和正多面体(7)：多面角及其性质，正多面体，正多面体变形(欧拉定理).

4.20世纪90年代(36课时)

A版

空间直线和平面：平面，空间直线，直线和平面平行，直线和平面垂直，两个平面平行，两个平面垂直，研究位置关系的概念、判定和性质.

简单几何体：棱柱，棱锥，多面体和正多面体，球.

B版

空间的直线与平面：平面的基本性质，空间的平行直线与异面直线，直线和平面平行与平面和平面平行，直线和平面垂直.

空间向量：空间向量及其运算，空间向量的坐标运算.

夹角与距离：直线和平面所成的角与二面角，距离.

简单多面体与球：棱柱与棱锥，正多面体与欧拉定理，球.

5.2003年高中课标

必修(18课时)

空间几何体：空间几何体的结构，空间几何体的三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积.

点、直线、平面之间的位置关系：空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行的判定及其性质，直线、平面垂直的判定及其性质.

空间向量与立体几何(理科选修，12课时)：空间向量及其运算，立体几何中的向量方法.

6.小结

(1)新中国成立以来，立体几何课程内容在逐步删减，但主干内容一直保留，做到了“削支强干”；

(2)20世纪90年代末开始，增加了向量，用向量为工具解决距离、角度的问题；

(3)课时数不断削减，现在的课时数，必修部分仅仅是上世纪50～60年代的五分之一，加上选修部分也只有上世纪50～60年代的三分之一.

2.3 对传统处理方式的分析与反思

几何课程的育人功能，我国一直强调培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，而且强调公理化方法呈现教材内容.例如，“63大纲”指出：为了使学生更好地掌握系统的几何知识，并且便于培养他们推理论证的能力，应该在学生能够接受的条件下，力求逻辑的严谨性.因此，中学的几何科应该以一些公理作为出发点，推导其他的定理.正如我国著名数学教育家丁尔陞先生指出的，“几何的重要内容是教导学生研习演绎法，要点在于让学生逐步体会空间基本性质的本质和用法.”实际上这也是我国几何教材的重要指导思想.以下以63版、97版两套教材为例(63版被认为是我国最好的教材，97版是世纪之交具有承上启下意义的教材)，通过教材的几个典型片段，分析一下立体几何教材的传统处理方式.

1.平面的基本性质

(1)63版、97版的教材如图1、图2所示：

图1

图2

(2)分析：可以发现，教材就是整理好的知识体系，是由概念和逻辑推理来构建的数学概念、术语、结论、定理、公式、法则等等，以及一些推理的逻辑步骤和技巧等.教材的语言表述严谨、简洁，几乎是“一字不多、一字少”，标点符号也很讲究，成为数学语言表达的“标准”.

(3)思考：这样的呈现方式，优点明显但问题也很突出，主要是重“结果”轻“过程”，在“启发学生的思维”、“引导学生思考”上考虑很少，没有“内容所蕴含的数学思想和方法”的明示，即使是1997年的大纲中已经明确了“基础知识是指高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”，但在教材中也只是增加了一些用现实事例说明公理的内容，对“如何观察与实践”、“从怎样的角度进行总结”等没有进行阐释.实际上，这是对“由其内容反映出来的数学思想和方法”挖掘不够，从而也就在很大程度上削弱了课程的思维教学功能，在发现和提出问题的能力等与创新思维相关的教学上就更显薄弱了.学生在学习中，可以通过教材知道相应的“事实”，但在“平面的基本性质指什么”，“用什么方法刻画基本性质”等方面却得不到什么启发.学生难以从教材中领悟到“平面的基本性质就是它的组成元素之间的基本关系，即平面上的点、直线与平面的关系”，因此，发现和提出问题的能力就落实不够，数学思想和方法、数学地认识和表达事物规律的方式等也很难得到训练.

2.位置关系的性质

(1)63版、97版的教材(片段)如图3、图4所示：

图3

图4

(2)分析：63版教材开门见山，以“如果—那么”的陈述方式直接给出性质定理；“性质—已知—求证—证明”的过程一以贯之；“∵—∴”的证明过程逻辑严密.性质定理1“两个平行平面与第三个平面相交”是类比“两条平行直线与第三条直线相交”的结果；性质定理2是“如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么也垂直于另一个平面”，是类比“两条平行线的公垂线”的结果，在此基础上给出“平行平面之间的距离”.这两个性质是从平行与空间的平直性、垂直与空间的对称性考虑的，而空间的平直性和对称性是三维欧氏空间最基本的特性.所以，这两个性质定理的选择是非常考究的.97版教材改变了呈现方式，一定意义上是采用分析法得出性质定理(把63版的性质定理2改作例题，并在此基础上给出两个平行平面的公垂线段和距离的概念)，但实际上仍然是“直接给定理”.

(3)思考：根据“何由以知其所以然”的“几何之务”，按照“启发学者，示以思维之道”的教材编写要求，我们可以对上述教材提出如下问题：

两个平面平行是一种位置关系，“位置关系的性质”的一般含义是什么？

两个平面平行的必要条件有很多，为什么选这两条作为“性质定理”？

如何引导学生自主发现这些(甚至更多的)性质？或者说，如何使学生想到引入平面γ？

证明的方法是怎么想到的？还有别的证法吗？不同证法的思维教学价值何在？

笔者认为，上述问题的思考和解决，对于挖掘几何课程的育人价值具有根本的重要性.例如，在97版教材中，直接说“根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论：α∥β，a⊂α，a∥β”，给出了结论确实是“容易”理解，但如果要让学生自己“这样去思考”、“如此去发现”，那么就绝非“容易”，因为这里涉及对“什么叫位置关系的性质”的理解，是在数学基本思想指导下的发现活动，而这正是这个内容所蕴含的育人价值之所在.

3.空间几何体

(1)63版、97版的教材片段如图5、图6所示：

(为节省篇幅，下面仅列出标题：2.3平行六面体，2.4棱柱的截面，2.5直棱柱的直观图)图5

图6

(2)分析：63版棱柱教材的结构体系：概念—(基本)性质—表示—分类—直棱柱的性质、正棱柱的性质；平行六面体及其分类(斜、直)与性质—长方体—立方体，长方体的性质(对角线定理)；棱柱的截面；直棱柱的画法.这是一个典型的公理化体系，大致按照“概念—表示—分类—性质”的路径，从一般到特殊(逐步增加条件)展开研究.几何体的内容放在点、直线、平面的位置关系之后，逻辑严谨，研究的内容非常丰富.内容选择做到重点突出.一如既往地，直接呈现结论，没有任何“闲言碎语”.

97版的棱柱教材，结构体系上没有大的变化，内容作了适当整合从而使教材变得简洁了，增加了实际事例.

(3)思考：无论是63版还是97版，在“如何使学生自主归纳几何体的基本特征”、“如何使学生发现棱柱的性质”等都没有考虑.97版先以“……都给人以带棱的柱体的印象”为引导，但紧接着就给出了定义，在“如何观察、归纳它们的共同特征”、“如何概括棱柱的内涵”等方面没有什么提示.可以说，教材把如何构建研究路径、如何发现几何体的性质、怎样找到证明方法等等，都“隐藏起来”，要读者自己去领悟.