一道高中解析几何题的说题设计探究*

张玉珍 苏洪雨

(华南师范大学数学科学学院 510631)

波利亚有一句广为流传的名言，“掌握数学就是意味着善于解题”[1].解题能力的提升不仅在于做题的数量，更在于解题的质量.正如波利亚的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程[2].而对于解题教学，教师要做的不仅是教会学生解这一道题，而是要探究问题的根本，挖掘问题的本质，帮助并引导学生领悟其本质并掌握解决这一类问题的思想方法，从而使学生达到举一反三的效果.

说题是近几年来素质教育改革与实践中涌现出来的一种新型教学研讨形式，成为教育工作者们研究解题教学、提升教学效率的一个重要平台.教师说题活动是指教师在精心做题的基础上，阐述对题目的理解和分析、解答时所采用的思维方式、解题策略及依据、变式拓展进而总结出解题规律的一种教研模式.因此，题目如何设计、教师如何教以及学生如何学这三大方面是说题的立足点，应该给予高度重视.以下笔者就一道高中数学解析几何题进行说题设计的探究.

1 试题呈现

(1)求曲线C的方程；

(2)求m的取值范围；

(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

2 说题设计

2.1 审题分析

2.1.1 题目背景

这是一道源于高三复习的解析几何题，其主要题干来源于人教版普通高中数学选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”.主要考查了学生解析几何的综合能力，难度中等，要求学生根据题目给出的条件，发现知识点之间的联系，综合运用平面几何和解析几何的知识，运用数形结合的思想进行准确运算求解.

该题所涉及的知识点主要包括：(1)坐标的伸缩变换；(2)椭圆的方程；(3)直线与椭圆的位置关系；(4)一元二次方程的判别式；(5)韦达定理；(6)等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线相互重合的三角形是等腰三角形；(7)直线的倾斜角与斜率的关系.本题的重点是平面几何知识与解析几何知识的联系与转化，难点是如何选择恰当的代数方法去判定等腰三角形，优化计算.本题主要考查的思想是方程、转化与化归和数形结合的思想.

2.1.2 条件分析

本题给出的题干条件主要有以下五个：(1)圆的方程；(2)圆的坐标伸缩变换得到曲线C；(3)曲线C过点M(2，1)；(4)直线l平行于OM，截距为m(m≠0)；(5)直线l与曲线C交于A、B两点.根据这些条件，引导学生借助思维导图(如图1)进行大胆地联想，并进行初步分析，把相关的知识点联系起来，看看能得到什么结论.有时候直接从条件出发去寻求最终结论的过程中会遇到困难，止步不前，这时我们不妨换个方向思考，把结论当作条件，也进行大胆地联想，逐步分析获得相关结论.这时候，从题干条件出发得到的结论将会与从结论出发得到的相关结论交汇，从而有理有据地获得解决问题的思路，而不是凭感觉去尝试各种可能.引导学生在分析题目的时候利用思维导图进行充分联想，并进行双向思考与分析，既可以提高学生解决问题的能力，同时可以培养学生的正向思考和逆向思考能力，促进学生思维的发展.

图1

2.1.3 题目价值

解析几何的解答题一直以来都是各地数学高考试题中占有很大分量的题目，不仅涉及的综合内容多、运算量大，而且承载着方程、转化与化归、数形结合等思想方法的考查任务.在解决本题后，将促进学生掌握相关知识，提高学生对平面几何知识和解析几何知识的认识和两者之间相互转化的能力.经历问题的解决过程，发展学生运用思维导图分析问题、挖掘信息、寻求解题策略的能力.同时通过对题目进行变式与拓展，挖掘问题的本质，总结规律，使学生能够“解一道，会一片”，改善学生解题的质量，提高学生对求解解析几何解答题的自信心和能力.

2.2 解题过程分析

2.2.1 解题思路的形成

第(3)小问是本题的难点.要求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形，首先想到的是把这个等腰三角形的三个顶点的坐标求出来(要先求出A、B两点的坐标，结合M(2，1)列出直线MA、MB的方程，再求出这两直线与x轴的两交点E、F，加上点M即为三角形的三个顶点)，然后根据两点之间的距离公式求出三边的边长，进而通过证明有两边相等来证明等腰三角形；或者通过证明“三线合一”、“两角相等”来证明.但这种解题思路(简称为思路一)计算复杂，运算量大，很容易出错.学生在求解过程中可能因为计算量过大而选择放弃，或者因为计算错误而打击学生的信心.

由图1我们可以看到，从等腰三角形的“两底角相等”(如图2，通过作图，我们可以发现该等腰三角形的底边位于x轴上，即M为顶点，两个底角的端点也位于x轴上)到“直线MA、MB的倾斜角互补”再到“直线MA、MB的斜率和为0”，这三者之间是互相推导的关系.而要证“直线MA、MB的斜率和为0”，只要利用第(2)小问推导出的一元二次方程，从中得出关于A、B坐标的韦达定理代入直线MA、MB的斜率相加的式子中，化简即可得到斜率和为0，从而命题得证.这种将平面几何的关系转化为解析几何关系的解题思路(简称为思路二)大大减少了计算的复杂程度，优化了证明过程，而且准确率也会大大提高，有利于提高学生解决解析几何问题的信心和能力.

图2

通过对比我们可以发现，解题思路有优劣之分，好的解题思路可以获得事半功倍的效果.在教学过程中，要注重培养学生的发散性思维和联想能力，鼓励学生多角度思考问题，不仅要学会解题，掌握解题的通法，还要学会一题多解，提高解题的效率和质量.

2.2.2 解答呈现

经过刚才的解题思路分析，(1)(2)小问的解答采取常用的解题思路，而第三问的解答采用更为简洁的“思路二”，由此得到以下的解题过程流程图(见图3)，详细解答略.

图3

2.3 变式与拓展

从刚才的解答中，我们可以发现一个重要的结论：

为什么会有这样一个结论呢？命题者是怎样命制这道题目的？这道题目又可以变成什么样子？只有弄清楚题目是怎么来的，即找到题目的原型，才能真正掌握问题的本质，明白出题者的意图.弄明白题目往哪里去，实现一题变多题，发现题目背后隐藏的规律，才能达到触类旁通的效果.

2.3.1 题目的来源

图4

观察结论1与猜想1，我们可以看到，其实两者都是关于椭圆上的三个点之间关系的有关定值的问题.结论1与猜想1都是建立在具体的椭圆、椭圆上具体的定点的背景下，如果是在任意的椭圆、椭圆上任意的定点的背景下，还会有类似的结论吗？因为不知道直线l的斜率，所以暂时无法类比结论1提出结论2.但是我们可以逆向推理来求解直线的斜率，提出猜想：

图5

综合猜想2和结论2，可以得到关于一般的椭圆及其上的三个点的定值问题的结论：

结论3就是本题的本质.若学生掌握了这个本质，对这个本质有了较深的认识，那么以后遇到这类题型时就可以手到拈来，能够快速地找到解题的方向，提高解题效率.同时让学生经历这样一个猜想与证明的过程，有利于培养学生自主探索的能力和大胆猜想、小心求证的科学态度.

2.3.2 题目的变式

希望通过解题训练来有效提升解题水平的一个重要实践是会对题目进行变式，一题变多题，并且能够解答之.根据上面的分析，可以从第(3)小问中得到的结论1出发，把命题的正逆向及命题的抽象水平作为切入点对本题进行一系列变式，如：

当然，我们还可以通过改变题目的大背景——椭圆来进行变式，可以把椭圆换成另外三种圆锥曲线：圆、双曲线和抛物线，如：

图6

在教学过程中，注重进行变式教学，引导学生在变式练习中领悟解决这些问题的思想方法，那么学生将来面对这一类圆锥曲线的定值问题时将会更加游刃有余，提高学生对解析几何题的自信心.

3 总结

说题作为一种新的教学研讨活动，是促进教师专业成长和学生学习的有效途径.通过说题活动，促进教师对试题进行深入研究，透析题目背景，把握命题趋势与方向；挖掘问题本质，分析试题能力要求，改变教学思路，提高课堂教学的针对性和有效性，从而在推动教师能力提升的同时提高数学学科的教育教学水平.虽然形式上教师说题主要是说给同行或者研究人员听的，但最终要落实到教学上.因此，教师在进行说题设计的时候，要立足于教师教和学生学的角度，分析学生可能的思维，发现他们的思维障碍以及思维误区，并进行适当引导.教师可以借助相关的计算机技术(如思维导图、几何画板等)引导学生逐步加深对题目的认识，掌握问题的本质，以达到以一当十的效果.