隔项等差、等比数列问题的常见类型及求解策略

湖北 聂文喜

隔项等差、等比数列问题的常见类型及求解策略

湖北 聂文喜

一、an+an+1=An+B，A≠0

【例1】已数列{an}满足an+1+an=4n+4，n∈N*.

(Ⅰ)若a1=1，试求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)是否存在a1使{an}是为等差数列？若存在，求出a1的值；若不存在，说明理由.

解：(Ⅰ)当n=1时，a2+a1=8，a1=1，所以a2=7.

当n≥2时，an+an-1=4n，an+1+an=4n+4，两式相减得an+1-an-1=4，

∴a1,a3,…,a2n-1是以1为首项，4为公差的等差数列，a2n-1=4n-3，

a2,a4,…a2n是以7为首项，4为公差的等差数列，a2n=4n+3，

(Ⅱ)假设存在a1使{an}为等差数列，设公差为d，则an=a1+(n-1)d，an+1=a1+nd，代入an+1+an=4n+4，得a1+nd+a1+(n-1)d=4n+4，即(2a1-d)+2nd=4n+4对n∈N*成立，

∴2a1-d=4，2d=4，∴d=2，a1=3，此时an=2n+1符合题意，故存在a1=3，使{an}是等差数列.

【点评】一般情况下，若an+an+1=An+B，A≠0，则当n≥2时，an-1+an=A(n-1)+B，两式相减得an+1-an-1=A，即数列{a2n-1}与数列{a2n}均是公差为A的等差数列.

【变式】(2016·武汉二月调研理·第17题)已知数列{an}满足，a1=2，an+an-1=4n-2(n≥2).求数列{an}的通项公式.

解： 数列{a2n-1}与数列{a2n}均是公差为4的等差数列，a2n-1=4n-2，a2n=4n，∴an=2n.

二、anan+1=pqn，p≠0 ，q≠0

【例2】已知数列{an}满足an+1an=42n-1，n∈N*.

(Ⅰ)若a1=2，试求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)是否存在a1使{an}是为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，说明理由.

解：(Ⅰ)当n=1时，a1a2=4，a1=2，∴a2=2.

∴{a2n-1}与{a2n}均为公比为16的等比数列，

【变式】在数列{an}中，a1=1，anan+1=3n，求an.

解: {a2n-1}与{a2n}均为公比为3的等比数列，

∴a2n-1=3n-1，a2n=3×3n-1=3n，

三、Sn=Aanan+1+B，A≠0，an≠0

【例3】(2014·全国卷Ⅰ理·第17题)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ为常数.

(Ⅰ)证明an+2-an=λ；

(Ⅱ)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.

解：(Ⅰ)证明：由题设知anan+1=λSn-1，an+1an+2=λSn+1-1，

两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1，由于an+1≠0，∴an+2-an=λ.

(Ⅱ)由题设知a1=1，a1a2=λS1-1，得a2=λ-1，

由(Ⅰ)得a3=a1+λ=1+λ，

假设存在λ，使得{an}为等差数列，

则a1+a3=2a2，1+(1+λ)=2(λ-1)，λ=4.

当λ=4时，an+2-an=4，

则a1,a3,…,a2n-1是以1为首项，4为公差的等差数列，a2n-1=4n-3，

a2,a4,…，a2n是以3为首项，4为公差的等差数列，a2n=4n-1，

∴an=2n-1，an+1-an=2.

因此存在λ=4，使得{an}为等差数列.

四、an+1+(-1)nan=An+B

【例4】数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1，则{an}前60项和为________.

解：令n=2k-1，得a2k-a2k-1=4k-3, ①

令n=2k，得a2k+1+a2k=4k-1， ②

令n=2k+1，得a2k+2-a2k+1=4k+1， ③

②-①得a2k+1+a2k-1=2， ④

∴a2k+3+a2k+1=2， ⑤

⑤-④得a2k+3-a2k-1=0，

∴{a4k-3}与{a4k-1}均是公差为0的等差数列.

②+③得a2k+a2k+2=8k， ⑥

∴a2k+2+a2k+4=8k+8， ⑦

⑦-⑥得a2k+4-a2k=8，

∴{a4k-2}与{a4k}均是公差为8的等差数列.

∴S60=(a1+a5+a9+…+a57)+(a2+a6+a10+…+a58)+(a3+a7+a11+…+a59)+(a4+a8+a12+…+a60)

=15(a1+a2+a3+a4)+1 680.

由④得a1+a3=2，由⑥得a2+a4=8，

∴a1+a2+a3+a4=10，S60=15×10+1 680=1 830.

【点评】一般情况下，若an+1+(-1)nan=An+B，则{a4k-3}与{a4k-1}均是公差为0的等差数列，{a4k-2}与{a4k}均是公差为4A的等差数列.

【变式】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2,Sn+1+(-1)nSn=2n，则S100=________.

解： 令n=2k，得S2k+1+S2k=4k，令n=2k+1，得S2k+2-S2k+1=4k+2，

∴S2k+S2k+2=8k+2，S2k+2+S2k+4=8k+10，

∴S2k+4-S2k=8，{S4k}是公差为8的等差数列.

S1=2,S2=4,S3=0,S4=6,S100=S4+24×8=198.

五、an+2=ASn-Sn+1+C

【例5】(2015·湖南文·第19题)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，且an+2=3Sn-Sn+1+3，n∈N*.

(Ⅰ)证明an+2=3an；

(Ⅱ)求Sn.

解：(Ⅰ)证明：∵an+2=3Sn-Sn+1+3，

∴当n≥2时，an+1=3Sn-1-Sn+3，

以上两式相减得an+2-an+1=3an-an+1，

即an+2=3an，n≥2，

又a1=1，a2=2，∴a3=3S1-S2+3=3a1，

故对一切n∈N*，an+2=3an.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{a2n-1}与数列{a2n}均是等比数列，

因此a2n-1=a1·3n-1=3n-1，a2n=a2×3n-1=2×3n-1，

【点评】一般情况下，若an+2=ASn-Sn+1+C，A≠0，则当n≥2时，an+1=ASn-1-Sn+C，两式相减得an+2-an+1=Aan-an+1，即an+2=Aan，n≥2，若a3=Aa1，则数列{a2n-1}与数列{a2n}均是公比为A的等比数列；若a3≠Aa1，则数列{a2n}是公比为A的等比数列，数列{a2n-1}从第二项起是公比为A的等比数列.

【变式】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，且an+2=2Sn-Sn+1+2，n∈N*，求S2n.

解：∵an+2=2Sn-Sn+1+2，

∴当n≥2时，an+1=2Sn-1-Sn+2，

以上两式相减得an+2-an+1=2an-an+1，即an+2=2an，n≥2，

又a1=1，a2=2，∴a3=2S1-S2+2=1≠2a1，

∴数列{a2n}是公比为2的等比数列，数列{a2n-1}从第二项起是公比为2的等比数列，

S2n=a1+(a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)

湖北省广水市第一高级中学)