正、余弦定理高考题型归类解析

甘肃 杜红全

正、余弦定理高考题型归类解析

甘肃 杜红全

正弦定理和余弦定理是高中数学的一个重要内容，也是高考的热点. 正、余弦定理的考查常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差倍角公式，甚至三角函数的图象和性质、数列、向量等交汇命题，多以解答题的形式出现，属于解答题中的低档题.下面举例说明在高考中考查的形式，供同学们复习时参考.

一、求边长或边长的取值范围

【例2】(2015·全国卷Ⅰ理)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2,则AB的取值范围是________.

二、求角或角的三角函数值

【例3】(2015·全国卷Ⅱ文)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.

(Ⅱ)若∠BAC=60°，求∠B.

点评：本题考查了两角和的正弦公式、正弦定理以及角平分线定理.三角形的边角关系，往往是利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，通常放在一个三角形中，求角度时，把三个角转化为两个角，两个角转化为一个角，根据三角函数的值及角的范围求出角，变量归一是解题的关键.

三、判断三角形的形状

【例4】(2012·上海理)在△ABC中，若sin2A+sin2Blt;sin2C，则△ABC的形状是

( )

A．锐角三角形 B.直角三角形

C. 钝角三角形 D.不能决定

点评：本题主要考查正、余弦定理. 判断三角形的形状主要有两种方法：①化边为角；②化角为边；转化的依据就是正、余弦定理.

四、求面积或面积的最大值

( )

点评：本题考查了余弦定理的应用及三角形面积公式. 解答本题的关键是由余弦定理和已知条件求得ab=6.涉及解三角形问题，要熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.

【例6】(2014·全国卷Ⅰ理)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，则△ABC面积的最大值为________.

点评：本题考查了正、余弦定理，三角形面积公式以及均值不等式.解答本题的关键是正确使用正、余弦定理求出∠A=60°,特别注意a与2之间的转化.

五、求周长

【例7】(2016·全国卷Ⅰ理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(Ⅰ)求C；

点评：本题考查了正、余弦定理，三角形面积公式以及两角和正弦公式的逆用. 解答本题的关键是求出ab和a+b的值.三角函数与三角形的边角关系是每年高考的重点，常用的解题策略就是利用正弦定理进行边角的互化，都变为边或都变为角，再利用三角函数公式进行化简求值;涉及到三角形的面积要适当的利用面积公式，借助于余弦定理或正弦定理进行求解，特别要注意解答第二问可以借助第一问的结果求解.

六、解决实际问题

点评：本题考查了运用正、余弦定理解决简单的实际问题.解决此类问题关键是把实际问题转化为三角形的边角关系，进而利用正、余弦定理解此三角形.

七、与其他知识的综合问题

【例9】(2014·陕西理)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

(Ⅰ)若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin(A+C)；

(Ⅱ)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.

分析：在(Ⅰ)问中结合等差数列的性质，得出a,b,c之间的关系，再利用正弦定理转化为角的关系，进而结合三角形内角和为π，利用诱导公式将角B转化为用角A和C来表示，从而达到证明目标等式;在(Ⅱ)问利用等比数列基本性质，得出a,b,c之间关系，再结合余弦定理，表达出cosB的式子，根据基本不等式得出其范围，注意等号成立的条件.

解：(Ⅰ)证明：因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b.

由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.

因为sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，

所以sinA+sinC=2sin(A+C).

(Ⅱ)因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac.

甘肃省康县教育局教研室)