高考全国卷《数列》命题规律分析

安徽 朱 益

高考全国卷《数列》命题规律分析

安徽 朱 益

一、新课标6年高考数列考点分析

年份文科卷理科卷题型题号分值考点题型题号分值考点2011解答1712等比数列的通项与求和，等差数列的求和解答1712等比数列的通项，数列的求和2012选择125数列的基本概念选择55等比数列基本量的计算填空145等比数列基本量的计算填空165数列的基本概念2013Ⅰ卷Ⅱ卷解答解答1712等差数列的通项，数列的求和等差数列的通项，数列的求和Ⅰ卷Ⅱ卷选择填空选择填空7143165555等差数列基本量的计算等比数列的通项等比数列基本量的计算数列中的最值问题2014Ⅰ卷Ⅱ卷解答1712求等差数列的通项公式，数列的求和选择55等差数列基本量的计算填空165数列的基本性质Ⅰ卷Ⅱ卷解答1712等差数列的定义数列的通项，数列的求和2015Ⅰ卷Ⅱ卷选择填空选择713595555等差数列基本量的计算等比数列基本量的计算等差数列基本量的计算等比数列基本量的计算Ⅰ卷Ⅱ卷解答选择填空174161255数列的通项与求和等比数列基本量的计算数列的求和2016Ⅰ卷解答1712等差数列的通项公式，等比数列求和Ⅰ卷选择35等差数列基本量的计算填空155数列中的最值问题Ⅱ卷解答1712等差数列的通项，数列与函数的综合Ⅱ卷解答1712数列的通项，数列的求和Ⅲ卷解答1712等比数列的定义和通项Ⅲ卷解答1712等比数列的证明，通项，求和

二、全国高考数列试题特点及命题规律

1.从地位上看：数列在全国卷的地位不如有些省份高(如江苏，安徽有时以压轴题出现)，立足基础，考查基本概念、基本公式和常用方法.

2.从题型上看：“两小”或“一大”.“两小”是指一道选择题，一道填空题，或者两道都是选择题，一道属于容易题，一道属于中档题，两题分别以等差数列和等比数列为载体，“两小”中必有一题是关于等差或等比数列基本量的计算，两题分值共10分；“一大”指的是一道解答题，位于第17题，是解答题的第一题，有两个小问，文科题目条件大多是给出基本量的几个等式，两个小问分别涉及等差和等比数列，第一问求通项，第二问求和；理科题目条件一般以递推公式形式给出，其中涉及通项an与前n项和Sn时较多，第一问求数列的通项公式，第二问根据第一问求出的通项公式构造新的数列，再求新数列的和，有时求和后再证明不等式，分值均为12分. “两小一大”不定期交替出现，没有出现偏题和怪题，所以同学们复习这部分内容时，以灵活运用基本性质和掌握基本方法为主，尤其是刚参加全国高考省份的考生，不能受自主命题的影响人为地拔高难度.

3.从难度上看：以容易题和中档题为主，选择题在靠前位置，比较容易，填空题位置不确定，有时带有综合性，解答题位于第一题，难度不大.

4.从考点上看：重点考查等差等比数列基本量的计算，等差数列与等比数列的通项和前n项和，由数列的递推公式求通项公式，数列求和的常用方法，数列中的最值问题，特定项成等比或等差数列的问题等.

三、全国高考数列重点、热点、难点、冷点分析

(一)数列的基本概念与性质

【点评】这类问题主要是通过观察分析出数列的规律，写出数列的某一项或某些项的和.常考周期数列或数列的某些项是特殊数列.《考试说明》指出“了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数”，而函数的单调性是函数一个非常重要的性质，所以数列的单调性，以后高考可能有所涉及.例如在选择题中判断数列增减性，还可以给出数列的单调性，求参数的值或取值范围.注意数列的单调性和一般连续函数的单调性还是有区别的，可以借助于an与an+1的大小关系来判断.

【变式训练1】(2012·全国新课标理)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1，则{an}的前60项和为________.

【解析】当n=2k-1时，a2k-a2k-1=2(2k-1)-1，当n=2k时,a2k+1+a2k=2(2k)-1,于是a2k+1+a2k-1=2，a2k+a2k-2=8k-8，所以相邻两奇数项的和构成常数数列，相邻两偶数项的和构成等差数列，S60=2×15+8(2+4+…+30)-8×15=1 830.

(二)等差数列和等比数列

1.等差等比数列基本量的计算

【典例2】(2016·全国新课标Ⅰ理)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=

( )

A.100 B.99 C.98 D.97

【典例3】(2013·全国新课标Ⅱ理)等比数列{an}前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )

【点评】 等差数列的基本量有a1,d,n,an,Sn；等比数列的基本量有a1,q,n,an,Sn，主要利用等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，列出方程或方程组解决.如果该年高考数列题型是以两道小题形式出现，则在选择题中考查等差或等比数列基本量的计算可能性非常大，属于容易题.文科有时选择题与填空题两题都考等差、等比数列基本量的计算.同学们只要熟练掌握等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，留意计算的准确性，解决这类问题是不会有什么困难的.冷点是数列与数学文化的结合，先阅读中国古典数学名著中的一段话后设置问题再求数列的基本量.

【变式训练2】(2015·全国新课标Ⅱ文)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=

( )

A.5 B.7 C.9 D.11

( )

2.等差等比数列的定义

【典例4】(2014·全国新课标Ⅰ理)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ为常数.

(Ⅰ)证明：an+2-an=λ；

(Ⅱ)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.

【解析】(Ⅰ)证明：由anan+1=λSn-1得an+1an+2=λSn+1-1，两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1，

因为an+1≠0，所以an+2-an=λ.

(Ⅱ)由题设知a1=1，a2=λ-1，由(Ⅰ)知a3=λ+1，若存在λ，使得{an}为等差数列，只需a1，a2,a3成等差数列，所以2a2=a1+a3，解得λ=4,

因此存在λ=4使得{an}为首项为1，公差为2的等差数列.

【点评】这类问题主要是由递推公式证明数列是等差(等比)数列，或探索是否能构成等差(等比)数列.冷点是从数列中抽出部分项证明其构成等差或等比数列，进而解决其它问题.

【变式训练4】 (2016·全国新课标Ⅲ理)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0.

(Ⅰ)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

3.数列中的最值问题

【典例5】(2013·全国新课标Ⅱ理)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0,S15=25，则nSn的最小值为________.

因为f(6)=-48，f(7)=-49，

所以当n=7时，nSn取得最小值为-49.

【变式训练5】(2016·全国新课标Ⅰ理)设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为________.

(三)由递推关系求数列的通项与前n项和

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

因为angt;0，所以a1=3.

①-②得(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1)，因为angt;0，所以an-an-1=2.

所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，

所以an=2n+1.

【点评】这类问题是高考重点考查内容，如果高考数列是一道大题，则题目的条件基本是以递推公式给出，第一小问证明是等差数列或等比数列，求通项公式，第二小问则根据第一小问求出的通项公式构造一个新数列，求这个新数列的前n项和.

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)求{bn}的前n项和.

安徽省桐城市第八中学)