巧用端点 回避讨论——破解一类“不等式恒成立求参数范围”问题

山东 郭允远

巧用端点 回避讨论
——破解一类“不等式恒成立求参数范围”问题

山东 郭允远

含参数的不等式在给定区间内恒成立，求参数的范围问题，是导数应用中的重要题型，在高考中多以压轴题呈现，此类问题通常是通过对参数分类讨论、求导、构造新函数、再求导等多步骤完成，过程之复杂令考生望而生畏，甚至直接舍弃第二问.对此，本文给出解决此类问题的一种方法，可以避免繁琐的分类讨论，对有些繁难的题目可以轻松破解.

此方法的思路是在审题中注意研究已知区间左端点的函数值或导函数值，并依据恒成立的不等式(或其变形)，构造一个必然成立的不等式，解此不等式得到参数的一个范围(必要条件)；然后再证明该范围(或该范围内的一部分)是“不等式恒成立”的充分条件. 即从“不等式恒成立”的必要条件和充分条件两个方面，求得参数的取值范围.

【例1】(2016·临沂11月质检)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax,a∈R.

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

解：(Ⅰ)略；

(Ⅱ)当m≥0时，讨论f(x)与g(x)的图象的交点个数.

解：(Ⅰ)略.

① 因为g(1)=0，由g(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，则必有g′(1)≤0.

此解法由①②两个方面构成，通过①由给定区间左端点的导函数值构造不等式g′(1)≤0，求得a的范围，但此范围是原不等式恒成立的必要条件；又通过步骤②证明此范围是原不等式恒成立的充分条件.综合①②知，所求a的范围即是原不等式恒成立的充要条件，故而正确.

【例2】已知函数f(x)=alnx,a∈R.

(Ⅱ)若对∀x∈[1,e]，都有f(x)≥-x2+(a+2)x成立，求a的取值范围.

解：(Ⅰ)略；

(Ⅱ)①令u(x)=f(x)+x2-(a+2)x=alnx+x2-(a+2)x，由题意，对∀x∈[1,e]，u(x)≥0恒成立，则必有u(1)=1-(a+2)≥0，解得a≤-1.

因为x∈[1,e]，所以x-1≥0，2x-a≥2x+1gt;0，所以u′(x)≥0，则u(x)在[1,e]上为单调增函数，则u(x)≥u(1)≥0，即原不等式成立.

综上，实数a的取值范围为a≤-1.

此解法是由给定区间左端点的函数值构造一个不等式，求得a的范围，然后通过②证明此范围是原不等式恒成立的充分条件.

【例3】已知函数f(x)=a2x3-3ax2+x+1，当x∈[1,+∞)时，f(x)gt;0，求实数a的取值范围.

解：①令f(1)gt;0，得a2-3a+2gt;0，解得alt;1或agt;2.

②当a≤0时，由x∈[1,+∞)，易得f(x)=a2x3-3ax2+x+1gt;0，即当a≤0时，f(x)gt;0在x∈[1,+∞)上恒成立；

综上，实数a的取值范围是(-∞,0]∪(2,+∞).

本题同例2的方法先求得a的一个范围，但需要对此范围进行甄别，通过检验去除不合题意的部分，然后证明其余范围是原不等式恒成立的充分条件.

【例4】(2015·山东理)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；

(Ⅱ)若∀xgt;0,f(x)≥0成立，求a的取值范围.

解：(Ⅰ)略；

(Ⅱ)当a=0时，对∀xgt;0,f(x)gt;0显然成立；

山东省临沂市教育科学研究中心)