高中数学变式题组训练一——初高中教材衔接代数部分复习

山西 李有贵 广东 朱 欢 安徽 郭洪利 江苏 王怀学

高中数学变式题组训练一
——初高中教材衔接代数部分复习

山西 李有贵 广东 朱 欢 安徽 郭洪利 江苏 王怀学

1.数域的扩充：数的分类;二次根式；有理化因式;

2.式子的运算：合并同类项与通分;多项式恒等对应项系数相等;利用恒等式将分式裂项;

3.多项式乘法与分解因式：立方和差公式;完全立方和差公式;十字相乘法;

4.一元二次方程的根：判别式;韦达定理;

5.方程组：二元一次方程组；二元二次方程组;

6.二次函数：解析式的待定系数求法;最值与变化趋势;平移变换;对称变换.

【题组训练】

1．数域的扩充

1.1 数的分类

【典例】判断下列说法正确的是________.

(1)0是既不是正数也不是负数；

(2)0不是自然数；

(3)-1是负数，但不是整数，更不是奇数；

(4)2是最小的质数；

(7)方程x2+1=0没有实数根.

【解析】实数分为正数、负数、零，因此(1)正确；

由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0，都是自然数，(2)错误；

能被2整除的整数是偶数，如2，0，-2，…，记为2k(k为整数)，不能被2整除的整数是奇数，如-1，1，3，…，记为2k+1(k为整数).-1是负整数，也是奇数，(3)错误；

如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数(素数)，如2,3,5,7,11,13,17,19，…，如果一个正整数能被1和它本身除外的正整数整除，那么这个正整数叫做合数，(4)正确；

因为x2≥0，所以方程x2=-1没有实数根，(7)正确．

因此(1)(4)(7)正确．

【变式】判断下列说法正确的是

(1)正整数是正数也是实数；

(2)自然数都是正整数；

(3)整数可以分为奇数和偶数；

(4)质数都是正整数；

(5)小数都是无理数；

(6)有的无理数是分数.

1.2 二次根式

【典例】求值．

(1)9的平方根；(2)125的立方根；(3)27的3次方根；(4)-32的5次方根；(5)16的4次方根．

【解析】(1)因为(±3)2=9，则±3是9的平方根．

(2)53=125，则5是125的立方根．

【变式】

1.若x2=25,则x=________．

2.若(x-2)2=16,则x=________．

3.若x4=25,则x=________．

1.3 有理化因式

【变式】

( )

A.alt;blt;cB.alt;clt;b

C.blt;alt;cD.blt;clt;a

对于甲，乙两位同学的解法，其中做的正确是________．

2．式子的运算

2.1 合并同类项与通分

(2)2-22-23-24-25-…-218-219+220.

(2)因为2n+1-2n=2n,

所以，原式=2-22-23-24-25-…-218+219=2-22-23-24-25-…+218=……=2+22=6.

【变式1】

1.若x2+mx-10=(x+a)(x+b),其中a,b为整数，则m的值为

( )

A．3或9 B．±3

C．±9 D．±3或±9

3.多项式(x+1)(x+2)(x+3)·…·(x+2 016)的常数项为________，其多项式的次数是________；最高次项系数是________．

4.定义：i2=-1，则将(1-i)(1+2i)2利用乘法法则，表示为p+qi(p,q是实数)的形式，则p+q=________．

5.已知i2=-1，类比多项式的乘法计算

【变式2】

2.2 多项式恒等对应项系数相等

【典例】已知两个多项式kx+b，k(kx+b)+b在实数范围内，不论x取什么实数值代入两式总是相等的，求k,b的值．

【评注】多项式恒等的定义：设f(x)和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等．就是说x在取值范围内，不论用什么实数值代入，等式总是成立的．符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式．例如：(x+3)2=x2+6x+9,5x2-6x+1=(5x-1)(x-1),x3-39x-70=(x+2)(x+5)(x-7)都是恒等式，这些式子展开后对应项相等．

【变式】

1.已知x2-3x-a2=(x-3)(x+b)，在实数范围内，不论x取什么实数值，式子总是成立的，则a+b=________．

2.已知x3-3x-2=(x+m)(x2+nx-2)，在实数范围内，不论x取什么实数值，式子总是成立的，则mn=________．

3.已知a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2+b)x+c+1，在实数范围内，不论x取什么实数值，式子总是成立的，求a,b的值．

2.3 利用恒等式将分式裂项

【解析】

x2-x+2=A(x-3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-3)

=A(x2-x-6)+Bx2+2Bx+Cx2-3Cx

=(A+B+C)x2+(-A+2B-3C)x-6A．

【变式】

3.多项式乘法与分解因式

3.1 立方和差公式

【典例】计算：

(1)(4+m)(16-4m+m2);

【解析】(1)原式=43+m3=64+m3;

【评注】立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3．

平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac).

【变式】

1.计算(1)(3x-2y+1)(3x+2y-1)；(2)(3a+2b+1)(3a-2b+1)；(3)(3x+y+1)(3x-y-1).

2.计算(1)(3x-2y+z)2；(2)(x-1)(x-2)(x-3)·(x-4).

3.2 完全立方和差公式

【典例】计算(x-y)3.

【解析】(x-y)3=(x-y)2(x-y)=(x2-2xy+y2)(x-y)=x3-x2y-2x2y+2xy2+xy2-y3=x3-3x2y+3xy2-y3.

【评注】两数和的立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;

两数差的立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

【变式】计算(1)(x-2y)3；(2)(x+2)4.

3.3 十字相乘法

【典例】把a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2分解因式．

【解析】a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1x(a2x+c2)+c1(a2x+c2)=(a1x+c1)(a2x+c2).

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

【变式】

1.将下列多项式因式分解：

(1)12x2-5x-2；(2)12x2-23x-2;(3)12x2-25x+2；(4)12x2-11x+2.

2.将下列多项式因式分解：

(1)15x2-2xy-8y2；(2)15x2+14xy-8y2；(3)15x2-7xy-8y2；(4)15x2+19xy-8y2；(5)15x2-19xy-8y2；(6)15x2+2xy-8y2．

4．一元二次方程的根

4.1 判别式

【典例】讨论一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况.

因为a≠0，所以，4a2gt;0．于是

【变式】判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根．(1)x2-ax+(a-1)=0；(2)x2-2x+a=0．

4.2 韦达定理

【典例】已知：x1,x2为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，

【变式】

1．若方程2x2-4x-3=0的两根为α,β，则α2-2αβ+β2=________．

2.设x1,x2是方程2x2-4x-3=0的两个根，则(x1+1)(x2+1)=________.

3.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

4.已知两个不等实数m,n满足m2-2m=a,n2-2n=a,m2+n2=5，求实数a的值.

5.已知对于任意实数a关于x的方程x2+(a-1)x+ab-2=0都有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.

5.方程组

5.1 二元一次方程组

【解析】(1)+(2)得2x=14m，所以x=7m.

(1)-(2)得2y=-4m,所以y=-2m.

把x=7m,y=-2m代入方程2x-3y=9得

2×7m-3×(-2m)=9,

【评注】1．加减消元法：将一个(或两个)方程两边同乘以一个数,使得某一个未知数的系数相等或互为相反数，再将得到的方程相加(减)就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程.这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．

2．代入消元法：解方程组的基本思路是“消元”．即把“二元”变为“一元”，主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并将其代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．

【变式】

5.2 二元二次方程组

【解析】(1)代入(2)得(kx+2)2=4x,

即k2x2+4(k-1)x+4=0,

当k=0时，方程为一元一次方程，有一解x=1，y=2;

【评注】(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：

①由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)；

②把方程(3)代入二元二次方程；

③解消元后得到的一元二次方程；

④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；

⑤写出答案．

(2)消x，还是消y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的.

(3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．

【变式】

6．二次函数

6.1解析式的待定系数求法

【典例】已知二次函数的图象过点(-3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

【解析】(法1)因为二次函数的图象过点(-3，0)，(1，0)，

【评注】二次函数有三种形式：1．一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)；2．顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中顶点坐标是(h,k)；3．交点式(两根式)：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1．已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2．已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；

3．已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4．已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

【变式】

1.已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点(3,-1)，求二次函数的解析式．

2.已知二次函数的图象过点A(-1,-22),B(0,-8),C(2,8)，求此二次函数的表达式．

6.2 最值与变化趋势

【典例】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

x(元)152030…y(件)252010…

若日销售量y是销售价x的一次函数．

(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；

(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

(2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元,

则w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225，

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【变式】

1.二次函数y=x2-4x-7的最小值是

( )

A．-11 B．7

C．11 D．-3

( )

A．y1lt;y2lt;y3B．y2lt;y1lt;y3

C．y3lt;y1lt;y2D．y1lt;y3lt;y2

3.若x1,x2(x1lt;x2)是方程(x-a)(x-b)=1(alt;b)的两个根，则实数的大小关系为

( )

A.x1lt;x2lt;alt;bB.x1lt;alt;x2lt;b

C.x1lt;alt;blt;x2D.alt;x1lt;blt;x2

4.已知二次函数y=-x2+bx+3的图象的对称轴是x=-2，则该函数的最大值是________．

5.已知抛物线y=-2(x+3)2-1，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是________．

6.关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0)，则a的取值范围是________.

6.3 平移变换

【典例】求把二次函数y=2x2-4x+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：

(1)向右平移2个单位，向下平移1个单位；

(2)向上平移3个单位，向左平移2个单位．

【解析】二次函数y=2x2-4x+3的解析式可变为y=2(x-1)2+1，其顶点坐标为(1，1)．

(1)把函数y=2(x-1)2+1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，0)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y=2(x-3)2．

(2)把函数y=2(x-1)2+1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(-1，4)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y=2(x+1)2+4．

【评注】由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数)，所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项)，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图象所对应的解析式．

【变式】

1.把二次函数y=-x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为

( )

A．y=-(x-1)2-3 B．y=-(x+1)2-3

C．y=-(x-1)2+3 D．y=-(x+1)2+3

2.把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是

( )

A．y=-2(x+1)2B．y=-2(x-1)2

C．y=-2x2+1 D．y=-2x2-1

6.4 对称变换

【典例】求把二次函数y=2x2-4x+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：

(1)直线x=-1；

(2)直线y=1．

【解析】(1)由y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1可知，函数y=2x2-4x+1图象的顶点为A(1,-1)，所以，关于直线x=-1对称后所得到图象的顶点为A1(-3,-1)，所以，二次函数y=2x2-4x+1的图象关于直线x=-1对称后所得到图象的函数解析式为y=2(x+3)2-1，即y=2x2+12x+17．

(2)由y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1可知，函数y=2x2-4x+1图象的顶点为A(1,-1)，所以，关于直线y=1对称后所得到图象的顶点为B(1,3)，且开口向下，所以，二次函数y=2x2-4x+1的图象关于直线y=1对称后所得到图象的函数解析式为y=-2(x-1)2+3，即y=-2x2+4x+1．

【评注】在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

【变式】求把二次函数y=x2-4x+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：

(1)直线x=-2；

(2)直线y=1．

高中数学基础知识准备(代数部分)

1.数域的扩充

1.1数的分类

【变式】(1)(3)(4) 【解析】(1)正确.正整数如1,2,3，…，是正数也是实数；

(2)错误.自然数包含0,0不是正整数；

(3)正确.整数可以分为奇数和偶数,奇数包含±1,±3,±5，…，偶数包含0,±2,±4,±6,…；

(4)正确.质数是2,3,5,7,11,13，…，都是正整数；

(5)错误.无限不循环小数都是无理数，有限小数和无限循环小数都是有理数；

(6)错误.分数是有理数.

1.2二次根式

【变式】

1.3有理化因式

【变式】

3.甲和乙

2.式子的运算

2.1合并同类项与通分

【变式1】

1.D 【解析】由x2+mx-10=(x+a)(x+b)可知ab=-10，从而x2+mx-10=(x+5)(x-2)或x2+mx-10=(x+2)(x-5)或x2+mx-10=(x+1)(x-10)或x2+mx-10=(x-1)(x+10),即x2+mx-10=x2+3x-10或x2+mx-10=x2-3x-10或x2+mx-10=x2-9x-10或x2+mx-10=x2+9x-10,因此m=±3或m=±9,故选D.

3.1×2×3×…×2 016,2 016,1 【解析】(x+1)(x+2)(x+3)·…·(x+2 016)的展开式中有2 016个x相乘，所以其多项式的次数是2 016；因为x的系数都是1，所以最高次项系数是1；常数项是1×2×3×…×2 016.

4.8 【解析】(1-i)(1+2i)2=(1-i)(4i-3)=1+7i=p+qi,所以p=1,q=7则p+q=8.

5.【解析】(1)原式=1-(4i)2=1-16i2=1+16=17.

(2)原式=9-12i+(2i)2=9-12i+4i2=9-12i-4=5-12i.

(3)原式=(1-4i)(1+4i)(7+2i)=17(7+2i)=119+34i.

(5)(1+i)2=1+2i-1=2i，(1+i)8=24，所以(1+i)2017=[(1+i)8]252×(1+i)=21008(1+i).

【变式2】

2.2多项式恒等对应项系数相等

【变式】

2.3利用恒等式将分式裂项

【变式】

3.【证明】

3.多项式乘法与分解因式

3.1立方和差公式

【变式】

1.【解析】(1)(3x-2y+1)(3x+2y-1)=[3x-(2y-1)][3x+(2y-1)]=(3x)2-(2y-1)2=9x2-(4y2-4y+1)=9x2-4y2+4y-1.

(2)(3a+2b+1)(3a-2b+1)=[(3a+1)+2b][(3a+1)-2b]=(3a+1)2-(2b)2=9a2+6a+1-4b2.

(3)(3x+y+1)(3x-y-1)=[3x+(y+1)][3x-(y+1)]=(3x)2-(y+1)2=9x2-y2-2y-1.

2.【解析】(1)原式=(3x)2+(2y)2+z2+2[3x·(-2y)+(-2y)z+(3x)z]=9x2+4y2+z2-12xy-4yz+6xz.

(2)原式=[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=(x2-5x+4)(x2-5x+6)=(x2-5x)2+10(x2-5x)+24=x4-10x3+35x2-50x+24．

3.2完全立方和差公式

【变式】【解析】(1)(x-2y)3=x3+3x2(-2y)+3x(-2y)2+(-2y)3=x3-6x2y+12xy2-8y3．

(2)(x+2)4=[(x+2)2]2=(x2+4x+4)2=(x2)2+(4x)2+42+2x2×4x+2x2×4+2×4x×4=x4+8x3+24x2+32x+16．

3.3十字相乘法

【变式】

2.【解析】

4.一元二次方程的根

4.1判别式

【变式】(1)该方程的根的判别式为Δ=a2-4×1×(a-1)=(a-2)2，

①当a=2时，Δ=0，所以方程有两个相等的实数根x1=x2=1；

②当a≠2时，Δgt;0，所以方程有两个不相等的实数根x1=1,x2=a-1．

(2)该方程的根的判别式为Δ=22-4×1×a=4(1-a)，

②当Δ=0，即a=1时，方程有两个相等的实数根x1=x2=1；

③当Δlt;0，即agt;1时，方程没有实数根．

4.2韦达定理

【变式】

3.【解析】(法一)因为2是方程的一个根，

所以5×22+k×2-6=0，

所以k=-7．

所以方程为5x2-7x-6=0，

(法二)设方程的另一个根为x1，则

5.-2lt;blt;1 【解析】由条件得关于x的方程的判别式Δgt;0，即(a-1)2-4(ab-2)=a2-2(2b+1)a+9gt;0,此不等式的左边是关于a的二次函数，要使函数值恒为正数，当且仅当4(2b+1)2-36lt;0，所以-2lt;blt;1.

5.方程组

5.1二元一次方程组

【变式】

1.【解析】(1)×2得6x+4y=10(3)，

(3)-(2)得0=4不成立，

所以方程组无解．

2.【解析】(1)×2得6x+4y=6(3)，

(3)-(2)得0=0恒成立，

所以方程组有无数组解．

5.2二元二次方程组

【变式】

1.【解析】由(1)得y=2x(3)，

将(3)代入(2)得x2-(2x)2+3=0，

解得x1=1或x2=-1．

把x=1代入(3)得y1=2；

把x=-1代入(3)得y2=-2．

2.【解析】由(2)得x=2y+2 (3),

把(3)代入(1),整理得8y2+8y=0，

解得y1=0,y2=-1．

把y1=0代入(3),得x1=2；

把y2=-1代入(3),得x2=0．

3．【解析】由(1)得y=-2x+2 (3),

把x1=0代入(3)得y1=2；

6.二次函数

6.1解析式的待定系数求法

【变式】

1.【解析】因为二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

所以顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y=x+1上，所以2=x+1，所以x=1．所以顶点坐标是(1,2)．设该二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2(alt;0)，

2.【解析】设该二次函数为y=ax2+bx+c(a≠0)

解得a=-2,b=12,c=-8．

所以所求的二次函数为y=-2x2+12x-8．

6.2最值与变化趋势

【变式】

1.A 【解析】y=x2-4x-7配方得y=(x-2)2-11，该函数的最小值是-11，故选A.

3.C 【解析】设二次函数y=(x-a)(x-b)，直线y=1，原方程的解即为两图象交点的横坐标，由图可知x1lt;alt;blt;x2，故选C.

5.xgt;-3(或x≥-3) 【解析】抛物线开口向下，当xlt;-3时，y随x的增大而增大；当xgt;-3时，y随x的增大而减小.

6.3平移变换

【变式】

1.D 【解析】函数y=-x2的顶点坐标为(0,0)，向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后顶点坐标为(-1,3)，所以平移后的解析式为y=-(x+1)2+3，故选D.

2.C 【解析】原抛物线的顶点是原点，平移后顶点是(0,1)，得到的抛物线是y=-2x2+1，故选C.

6.4对称变换

【变式】

1.【解析】(1)由y=x2-4x+1=(x-2)2-3可知，函数y=x2-4x+1图象的顶点为A(2,-3)，所以，关于直线x=-2对称后所得到图象的顶点为A1(-6,-3)，所以，二次函数y=x2-4x+1的图象关于直线x=-2对称后所得到图象的函数解析式为y=(x+6)2-3，即y=x2+12x+33．