发展四种能力，提升复习质量

刘娟

[摘 要] 初三数学总复习不仅是对初中整个阶段课程所要求的知识内容的回顾与再现，更重要的是对学生知识梳理、严密审题、数学思维以及归纳探究能力的训练与培养. 本文结合具体的例题对学生各方面能力培养与训练进行了研究.

[关键词] 初三数学；总复习；能力

初三数学总复习如果只是对之前所学知识进行简单地回忆与再现，那就大错特错了，整个初中阶段各数学知识点的学习已经初步完成，总复习就应该通过各知识点的系统复习进行各个章节的联系，使得学生在初中最后阶段建立起丰满、完整的知识体系. 学生将所有知识融会贯通并建立起一定的数学能力之后，数学教学以点成线、以线成面、以面成体的最终目的才能实现. 本文从初三数学知识系统复习着手，结合具体的数学教学案例着重研究了学生数学学习中各种能力的训练与培养.

知识梳理能力

中考总复习的目标是对基础知识进行有效梳理，从而使学生的整个知识储备更系统，脉络更分明. 基础性试题在每一份试卷中所占的比例一般会是总题量的60%～70%，有时候甚至会更多. 这部分基础试题对于学生来说是主要的得分区域，因此，基础知识的整理与复习最为重要. 初中数学复习根据课程设置所包含的内容分为以下11大类：（1）数与式；（2）方程与方程式；（3）不等式与不等式组；（4）函数及其图像；（5）统计初步；（6）线与角；（7）三角形；（8）四边形；（9）相似形；（10）解直角三角形；（11）圆. 在初三总复习阶段，学生应该对所有概念的含义形成准确的理解并能及时查漏补缺，以往模糊的概念应一并理清；在这个阶段，学生还应清楚每个知识点在初中数学学习中所占据的地位与价值. 比如，在因式分解这个内容的复习中，其定义、方法以及一般步骤都应该是学生牢固掌握的内容，除此以外，因式分解在代数式恒等变形、分式运算、根式运算以及方程变形中所有的应用也应该是学生能够具体掌握以及应用的. 同时，因式分解在数学知识中的基础性地位及其所具有的思想与方法方面的价值学生也应该建立认知. 这只是一个知识点复习的实例，以点代面，学生只有在基础知识纵横归纳与梳理完全通透以后，才能对知识之间的联系形成更加深入的理解，思路才会更广、更深远.

严密的审题能力

教师应在复习进程推进的过程中注重对学生的各种错误进行积累，并在各知识板块中将错误进行分类归纳并再次呈现，使学生对产生错误的原因能够深入研究，并以此为训练阵营，提高学生严密审题的能力. 学生常见的错误如下.

1. 概念不清，理解不透

例1 已知方程x2+3x+a=0有整数根，其中a为非负整数，试求该方程的整数根.

2. 忽视附加条件或隐含条件

3. 思维固化，漏解

例3 已知一直角三角形的三边长分别为3，4，c，求c.

简析 本题中的c可以是直角三角形的任意一条边，但有部分学生却先入为主地将c认定为是直角三角形的斜边，与勾股定理中的c等同起来，最终导致漏解.

例4 已知点A（1，1）是抛物线y=x2上一点，直线l与该抛物线相交于唯一的一点A，求直线l的解析式.

简析 大多数学生设直线l的方程为y=kx+b，并将之与y=x2组成方程组，消去y并结合题意得出直线l的方程为y=2x-1，不过其实直线x=1也是符合题意的一条特殊直线，k在此特殊直线中不存在，因此，按照上述思路解题就会漏解.

由此可见，严密审题在学生解题中的重要性非同一般，教师在初三数学总复习中一定要加强学生在审题方面的训练，使学生对命题关键词、外显与内隐条件都能尤为关注并准确获取，以确保自身解题思考时的缜密性与周全.

例5 已知∠BAC，D是射线AC上一点，AD=10，以点D为圆心、5为半径作圆，点E，F为该圆与射线AB的交点，EF=6，另在射线AC上取一点P，并以此点为圆心作一个既与射线AB相切又与圆D相切的圆，圆P的半径应该为多少？

“射线”与“相切”是本题中关键的两个词眼，尤其是“相切”一词，它值得我们进行全面地分类讨论. “外切”与“内切”两种情况是我们考虑的方向，另外，与圆D相切的位置也是我们需考虑的方面. 因此，解决本题时，圆P的位置情况应考虑四种.

数学思维能力

数学能力训练与培养的核心是数学思维，数学思维的提高对于数学能力的提高有着决定性的影响. 因此，我们在初三数学总复习中应注意做到以下几方面.

1. 超越具体与个别，于问题浅显处入手

每一个问题的解决只是简单意义上的答案求解，注重思维能力培养应在解题后对自身解题思维做进一步思考，寻求数学思想的内涵以及其他更好的方法. 很多个别的例题、具体的例题只是对一定概念、定理、法则的探究与巩固，例题蕴含的本质和规律值得我们更加深入地探寻，适当的变式训练也可穿插其中，这样，思维的深刻性才会由此得到有效锻炼.

2. 发散深度与广度思维，于问题发散处入手

思维训练的综合性还表现在不同角度与层面上的思维培养以及学生创优意识的形成. 初中数学中的很多定理、公式以及法则还存在着很多的逆向应用，解题中所运用的反面求解、逆向推理等都是学生逆向思维锻炼的有效方法，教师在初三数学总复习阶段应注重这些逆向应用的引导与实践，使学生的思维空间不断得到开发.

例6 已知抛物线y=ax2+bx+c，将其向左和向下各平移2个单位长度得到抛物线y=2x2+8x+3，试求a，b，c的值.

简析 部分学生在解决本题时将原图像变化作为自己思考的起点，解题时往往发现难度较大，如果引导学生从结论出发进行逆向探究，就会发现解题容易很多. 学生根据教师的引导与提醒可以将新的抛物线y=2x2+8x+3=2（x+2）2-5向右和向上各平移2个单位长度，便可得到原抛物线，接着将系数比较法运用进本题的求解中，a，b，c各值便可以很快确定.

归纳探究能力

教师在初三数学总复习中还应将归纳方法教给学生，使学生能够自主进行基础知识的归纳与整合，尤其要使学生发现一些有共性、有联系的知识的规律，从具体到抽象、从一般到归纳能力的形成，正是在这样不断的归纳与总结中形成的. 另外，一些例题、习题的分析与探究也是培养学生归纳、探究能力的好方法.

例7 在平面直角坐標系中有一边长为2的正方形OABC，其中点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点O为坐标原点. 已知直线y=x，现将此正方形绕点O顺时针旋转至点A首次落在直线y=x上时停止，设点M是AB边在旋转过程中与直线y=x的交点，点N是BC边在旋转过程中与x轴的交点（如图1）.

（1）试求旋转过程中边OA扫过的面积；

（2）当旋转至MN∥AC时，正方形OABC一共旋转了多少度？

（3）假如△MBN的周长为p，p的值随着正方形的旋转会有变化吗？请证明你的观点.

简析 （1）边OA旋转扫过的图形为扇形，其半径为OA，圆心角为45°.

（2）求出∠AOM的度数便是求出了正方形OABC旋转的度数.

（3）将BA延长至其与y轴相交，交点记作E，可证得△OME≌△OMN，于是有ME=MN，所以△MBN的周长p根据线段的等量代换即可得出p=AB+BC=4.

图形的折与展、割与补、平移与旋转等变换在本题的具体解题过程中都得到了应用，本题的解决对于学生的空间想象、推理以及创新能力等都是一种考查和挑战，既涵盖了实践操作，又涵盖了理性思考，既有中等难度的小型题，也有必须借助数学思想方法才能解决的探索性问题. 图形变化中关键的不变性是此题解决中最为关键的思考着力点，学生在一步一步的思考中能很好地锻炼层次分明、层层递进的探究能力.endprint