解题研究再深入：教学微设计的实践与思考

范小震

[摘 要] 教师研究中考综合题需思考一题多解、多解归一，并可围绕考题开展解题教学的“微设计”：将考题的几个小问拆开成不同的教学环节，让每个教学环节下的铺垫式设问成为引导学生自主获得思路的有效问题.

[关键词] 解题教学；教学微设计；命题功夫

研究中考试题是很多同行的兴趣，然而从各个网络QQ群中的研讨热点来看，更多是关注一些难题（甚至超纲题），不少研究者虽然给出的答案丰富多样，但不少解法不宜在教学中选用. 笔者以为，我们不仅应该关注中考题的一题多解，更重要的是多解归一以及更初等解法、更自然解法的优选. 此外，还需要跟进构思解题教学的微设计，这样才能把解题研究转向服务教学，让我们对考题的研究“落脚”在课堂. 本文梳理了一道考题的思路突破及教学微设计，以提供研讨.

考题及思路概述

考题 （2017年江苏扬州中考卷，第28题，有改动）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG，PF相交于点O.

（1）小明经过探索，发现：点O一定在△APE的外接圆上，请判断小明的发现是否正确，并说明理由；

（2）当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；

（3）在点P从点A运动到点B的过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值.

思路简述 （1）首先分析△APE是直角三角形，该直角三角形的外心在斜边PE的中点M处（如图2），容易确认MA=ME=MP. 接下来，只要能证出MO=ME=MP即可. 由于四边形GPEF是正方形，O是对角线的交点，所以△POE是等腰直角三角形. 于是OM=ME=MP. 所以点A，P，O，E四点共圆，即点O一定在△APE的外接圆上.

另解思路：也可从对角互补的四边形的四个顶点在同一圆上进行思考. 比如，由PF⊥EG，得∠EOP=90°，所以∠EOP+∠EAP=180°. 故A，P，O，E四点共圆，即点O一定在△APE的外接圆上.

另解思路：可以过点O作AB，AD边的垂线段OQ，ON，如图4，可以通过证明△NOE≌△QOP得出OQ=ON，于是点O在∠BAD的平分线上. 之后的解法同上述解法.

（3）如图5，先根据题意构造出圆心M到直线AB的垂线段MH，问题的求解方向就是分析MH的最大值. 如果联想到三角形的中位线，则可以把MH的最值分析转向AE最值的分析，而AE在Rt△APE中，于是可以联想到△APE∽△BCP，这样便会得到对应线段的比例关系，思路就可获得贯通.

解题教学微设计

1. 教学环节一：基础热身，特例引路

例题1 同考题的“题干”，这里略.

（1）当点P为AB的中点时，求正方形PEFG的周长；

（2）当AP=1时，求AE的长；

（3）当AE=1时，求△APE外接圆的半径；

（4）当正方形PEFG的面积为5时，直接写出AP的长.

2. 教学环节二：动态探索，四点共圆

例题2 题干同“考题”，这里略.

（1）请指出△POE的形状，并说明理由；

（2）求证：点A，P，O，E四点共圆；

（3）连接AO，求证：AO平分∠BAD；

（4）在點P从点A运动到点B的过程中，点O也随之运动，求点O到点A的最大距离.

3. 教学环节三：迎难而上，挑战难题

例题3 题干同“考题”，这里略.

（1）求证：△APE∽△BCP；

（2）当点P为AB的中点时，求△APE外接圆的圆心到弦AP的弦心距的长；

（3）在点P从点A运动到点B的过程中，分析点O到AD边的距离的最大值；

（4）在点P从点A运动到点B的过程中，求△OPE的外接圆的圆心到AB边的距离的最大值.

4. 教学环节四：同类链接，改编训练

（1）求点B到AC边的距离.

（2）点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿对角线AC向终点C运动，连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF.

①当点D运动到AC边的中点时，分析△CDE的形状，并求它的周长.

②求证：B，C，E，D四点共圆.

③当△CDE是等腰三角形时，求运动时间t.

⑤在运动过程中，是否存在某一时刻，矩形BDEF的面积取得最小值？如果存在，请求出运动时间t；如果不存在，请说明理由.

跟进两点思考

1. 解题研究应该用力在何处

教师研究解题不同于学生解题，因为我们是要通过解题研究帮助学生学会解题，而且要让学生通过解这一道题学会解一类题，所以不能止步于对考题的思路贯通，而需要对考题的结构、不同解法、可能的拓展与变式进行解后回顾与反思. 在回顾与反思时，可围绕以下一些方向进行，比如该题与教材上哪些经典问题类似？该题的思路怎样更加自然而然地发生？学生可能会在哪些步骤上遇阻？该题还可以有哪些变式拓展？哪些考题与这道题的考查风格类似……多思考这些问题，可以在跟进的教学微设计时进行一些铺垫和拓展.

2. 教学微设计需要命题能力

可以发现，像上文中围绕考题给出的解题教学微设计就是该题上课的简要教案对原考题每一个小问设计同类问题、铺垫问题，能让学生在这些引导问题的铺垫之下自主探究出原考题中较难的设问. 各个教学环节下的设问，需要教师修炼命题基本功. 想来，这也就是郑毓信教授指出的数学教师的三项基本功之一“善于提问”吧.endprint