再谈初中数学教学中的几何直观

朱玫瑰

[摘 要] 几何直观不仅仅是核心概念，也是一种教学思路. 几何直观的综合描述，就是利用数学图形进行数学思考. 对几何直观的理解，可以视之为一种学习模型，可以引导教师的教学思路. 培养学生的几何直观，通常从作图、图形加工、图形描述三个方面进行.

[关键词] 初中数学；几何直观；数学理解

几何直观被《义务教育数学课程标准》（2011版）描述为十个核心概念之一，对于几何直观的理解，通常是从“几何”与“直观”两个关键词上进行的：几何通常是指几何图形，这一理解与数学是研究数与形的科学的理解是一致的，对于初中数学而言，这里的几何更多的是指欧几里得几何，即基于点、线而构建起来的以简洁为特征的几何图形；直观一定程度上是一个心理学概念，通常是指基于实际看到的物体进行数学抽象后的产物——看到的对象是基础，数学抽象后形成的有效表象是目的. 因此，几何直观说得简单一点，就是“利用几何图形进行数学思考与想象”.

在初中数学教学实践中，笔者总体感觉自己对几何直观的理解还显得比较粗糙，实际教学中体现得也不太充分，因此进行了深入探究，取得了些许认识. 现总结出来，供方家批评、指正.

几何直观作为学习模型的存在

首先需要指出的是，对几何直观的理解不能仅限于几何学习，其应当成为数学学习的一个重要思路. 笔者将几何直观理解为一种学习模型，主要是从建立数学理解的角度来认识的. 有研究者指出，几何直观是在“数学—几何—图形”的关系链中体现其价值的，笔者就琢磨并思考：这种价值是一种什么样的价值呢？

从宏观上来看，数学是学科总称，也是学习内容总称，而几何作为数学的一个重要组成部分，其又是以图形为主要加工对象的. 在初中数学教学中，图形所起的作用绝对不仅仅是习题的载体，而应当是学生理解数学规律的重要工具. 正如希尔伯特所说的那样，“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮我们寻找解决问题的思路；可以帮我们理解和记得得到的结果”. 那么，在初中数学教学中，教师所起的作用就是帮学生理解这段描述中“帮”的作用，因为学生借助图形去发现、描述研究问题的本领并非天然形成的，利用图形去理解和记忆所得到的结果，也需要教师加以引导. 而这种引导的途径，与几何直观建立的过程几乎完全重合，因此几何直观建立的过程，就可以理解为初中生数学学习过程中遇到与图形相关时的思维过程.

于是，一种新的教学图式就出现在我们面前：对于初中数学教学中与图形相关的学习内容，通过对图形的分析来让学生生成对图形的分析、理解能力，并在这种能力的辅助之下形成对数学规律的理解，这就是数学能力形成的过程. 以“勾股定理”为例，可以肯定的一点是，无论是教师还是已经学过勾股定理的学生，提到勾股定理时，大脑里一定会同时出现直角三角形的表象，并基于此表象迅速得到直角三角形两直角边平方之和等于斜边的平方的认识. 这个现象对于熟悉勾股定理的人来说，似乎没有什么值得强调的，因为这就是一种直觉. 而笔者意识到其中的价值正在于此，什么叫直觉？其与直观有什么样的区别？笔者的回答是：直观作为一种分析、思考的过程，其最高结果正是形成良好的直觉. 因此，在初中数学涉图教学中，利用几何直观来让学生形成一种良好的直觉，进而形成一种高水平的思维定式，就成为教学的一个重要目标.

几何直观作为教学思路的存在

既然形成了初中数学涉图教学的几何直观教学思路，那就需要厘清这一思路的具体内涵与外延. 笔者经过分析形成如下两点认识.

1. 几何直观是对初中数学学习内容与学习方法的概括

初中数学中的大部分内容基本上都具有“数”与“形”的特征. 譬如函数，严格来讲，是以解析式为基本特征的数学关系，但这种关系可以在平面直角坐标系上用图形表示出来. 这种图形普遍存在的事实，使得几何直观在初中数学教学中具有普遍的价值，因而让学生在“数学”学习中通过对“图形”的分析来理解“几何”意义，也就成为数学教师的教学思路之一（当然，这里也涉及数形结合思想，限于篇幅与文章主题，这里就不详细讨论了）. 重要的是，几何直观强调的是思维的参与，也就是说，学生头脑中所加工的几何对象不是孤立、僵化的，而是联系性强、可变性强的对象. 如上面所举的“勾股定理”例子，从教材一般引用的毕达哥拉斯研究地砖的故事开始，教师就需要引导学生形成将实际事物抽象成数学图形的思想（数学抽象的存在），当学生从地面图案中抽象出由三个正方形的各一条边组成的直角三角形时，这是一种意义重大的变换，意味着学生的思维里不再是实际的地面图案，而是抽象的数学图形. 同时，这一图形的形成，又将直角三角形延伸为三个正方形的面积，于是问题解决的思路也就获得了突破. 事实上，通过面积关系来得到勾股定理作为最简洁的方法引入初中数学教材，其目的与意义也正在于此. 在此过程中，学生的思维是不断变化的，思维加工的对象也是不断变化的，但思维发展的脉络又是清晰的，通过对实际事物的抽象，形成几何图形，进而通过面积关系寻找直角三角形三边的关系，这就是一个对图形进行数学思考的过程，也是一个几何直观建立的过程.

2. 几何直观的思想可以引导数学有效教学

如果说上一点是对已有教学的归纳，那如果演绎开去还可以发现，几何直观其实可以引导数学的有效教学思路. 初中数学教学有两个特别明显的主线：一是经验；二是逻辑. 基于合情推理得出的基本数学概念，通常也都是基于学生的生活经验而建构的，而此外更多的数学概念其实都是在基本概念的基础上，通过数学逻辑建立的. 在几何直观的理解中，对图形的认识常常需要经验的支撑，而对图形的思考与想象，其实是直觉与逻辑共同作用的结果. 因此，对数学学习过程的描述就可以是这样的：初中数学学习，就是学生利用经验、直觉去推理，得出新的数学概念或规律的过程. 有了这样的理解，可以帮初中生形成对数学学习的宏观认识，这从学习心理上来看，很有利于学生建立数学学习的认识，并化解不必要的心理障碍；从数学知识建构的角度来看，无论什么样的数学知识的学习，都是经验、直觉加推理的过程. 如在“整式”的学习中，常常有一些实际问题如船在静水与流水中顺行、逆行的问题，面积问题等，学生在这些问题的解决过程中，如果有了良好的画图意识（实际上是将实际问题抽象成数学图形），那就有了基本正确的解题思路（此时就是几何直观在起作用），待到正确的问题解决方法出现之后，学生反过来又会认识到画图这一步骤的重要性（实际上是高水平的几何直观认识的形成）.

以上两点分析是对初中数学教学中几何直观内涵的挖掘，以及对实际教学的启示、描述. 从教学策略的角度讲，这里还面临着一个很直接的问题，那就是在实际教学中如何有效地培养学生的几何直观.

如何有效培养学生的几何直观

要回答这一问题，需要结合教学经验去总结，需要借鉴同行的智慧去分析. 具体总结为三点.

1. 一定要有画图意识

画图是数学学习的法宝之一，画图是一个将文字转换为图形的过程，这个过程是人与生俱来的本能之一，是将复杂、抽象对象简洁化、形象化的重要过程. 对于初中数学教学而言，只要有画图的机会，教师都不能放过，简单的要让学生自己去画，难度较大的要在学生画不出的情况下教师画. 一旦画图意识形成，几何直观就有了坚实的基础.

2. 要学会加工图形

对图形的加工除了简单的数据标入之外，还有两个要点：一是作图的准确性，作图是一个学生经验支撑的过程，有时由于对题意理解不透，会出现图形失真、比例失调的情形，这其实是培养学生良好作图能力的重要机会，教师此时不能越位，要让学生充分畫图之后再给予指导；二是图形的由静变动，这个过程是学生借助自身的想象力来完成的（在比较困难的情况下，可以借助几何画板来呈现动态图形，但一定要先让学生自己想，通常不能直接呈现），是培养学生数学抽象与思维能力的好机会.

3. 学会描述图形

描述图形也是一个重要的数学能力形成的机会，但通常得不到教师的重视，因为解题思路一旦形成，教师通常都会让学生去解题、去求答案，少有让学生基于图形进行思路描述. 事实上，这是一个将隐性知识显性化的过程，这个过程可以让学生对数学语言的掌握更精确，教师不能感觉浪费时间而忽视此过程. 从另一个角度讲，描述图形也是对原有思路的重新整理，常常可以让模糊的认识变得清晰.

综上所述，初中数学教学中对几何直观的重视，可以加深学生对数学教学的理解，从而让学生的学习变得更加高效.endprint