“四维”反思 提升高考复习实效*——讲评一道试题有感

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(厦门大学附属实验中学,福建 漳州 363123)

“四维”反思提升高考复习实效*
——讲评一道试题有感

●邱云

(厦门大学附属实验中学,福建 漳州 363123)

在高考复习中，试题讲评要注重从学生、教师、命题、改题这4 个维度进行深层反思，引导学生看清问题本质，从而提高解题能力与自信，让复习更具实效．

高考复习; 试题讲评; 四维反思

在高考总复习阶段，做题、讲题是学与教的常态，试题讲评活动也就成为学生完善知识、增长能力、积累经验、提升素养的关键．随着高考日益逼近，题海无涯，解法不定，学生的学习压力越来越大，这对解题教学的效率提出了更高的要求．讲评试题是停留在就题论题、纠正答案，还是举一反三、讲练结合；是越俎代庖、贪量求全，教师一讲到底，学生被动接受，还是收放有度、深思求质，师生教学相长，学生积极参与……怎样的试题讲评课更吸睛、更高效、更具针对性、更富思考性？笔者认为：在时间紧、任务重的总复习阶段，试题讲评要注重从学生、教师、命题、改题这4个维度进行反思，帮助学生走出迷雾，让其能拨云见日看清问题的本质，领悟求解思路的生成，从而提高解题能力与自信，让复习课更具实效．

题目已知f(x)=x3-3x+2+m(其中m>0)，在区间[0，2]上存在3个不同的实数a,b,c，使得以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是

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这是高三复习检测中的一道选择压轴题，综合性强，难度大，考试现场真正因理解而答对的学生几乎没有．考后与备课组教师交流，大家也觉得此题不好下手：一是不易找出函数值与直角三角形的关系；二是备选项的数字也很怪，难以猜想．这样一道让人感到棘手的难题，难在何处？又该如何讲评？以下是笔者的讲题过程及讲评前后的思考与感想．

1 反思学生受阻思路，明晰困惑所在

学生是课堂的主人，高三复习课亦如此．“只有知晓病情，才能对症下药”．经过前期学习、复习，学生的知识网络已基本建构，基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验已有一定水平，对问题的解决较复习前有更多的主见、想法和创意．这时认真倾听学生的解题思路，明晰其求解困惑：1)便于察觉学生的认知障碍与思维断点，有利于提高讲题的针对性；2)有助于发现学生的思维亮点，有利于教师伺机捕捉生成资源、点拨引导，实现教学相长，让课堂更灵动；3)了解学生在考场经历的解题挫折与感受，讲题也会更贴心．

讲评前，让学生说出在考场解答此题时的真实想法．

生1：读完题目无从下手，尤其是看到“以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形是直角三角形”，字母又多，完全不知如何入手，只好瞎蒙.

这类学生占多数．可见，多个未知参数干扰与“直角三角形”的介入，使原本熟悉的三次函数变得异常陌生．找出“f(a),f(b),f(c)与m的关系”是解决问题的第一步．

生2：先试着分析函数f(x)的单调性，再求出函数的极值及在区间[0，2]上的最值，然后不知与直角三角形有何关系，只好作罢．

这类学生如果能突破f(a),f(b),f(c)与函数最值间的关系问题，那么离目标就近了．

该学生能用极限思想排除选项A,出乎笔者的预料．

生3原认为情急之下不得以而为之的小伎俩，却被教师夸奖为解题良方，心里美滋滋的．学生们投去赞赏目光的同时，也若有所悟——难题也并非“难于上青天”．生3的创想让沉寂的课堂活跃起来，激发了大家的听讲欲望，于是笔者顺势简单介绍了罗增儒教授在《数学解题学引论》中提及的选择题的求解策略：肯定一支、否定三支、逻辑分析、合情推理、结论也是已知信息．

2 反思教师思维过程，启发解法形成

有学者提出，解题思维过程要经历“定向—逼近—成型—引申”这4个阶段．波利亚的解题理论告诉我们，解题无外乎是“架起由已知通向未知的桥梁，桥梁承载着数学知识、思想、方法、能力、技巧”[1]．本题的桥梁就是“f(a),f(b),f(c)与直角三角形的关系”，那么教师又会如何“定向、逼近”架构桥梁、形成解法呢？教师的思维过程对解题教学又有何启发呢？

图1

师1：展开动态想象．先求出f(x)min=m，f(x)max=m+4，然后画出如图1所示的三角形，试图从钝角三角形到直角三角形的变化中寻找到f(a),f(b),f(c)能构成直角三角形的条件．难以自圆其说，不严谨．

(a2+b2-c2)min<0,

于是当a=b=m时，有cosA<0，即

m2+m2-(m+4)2<0，

解得

师3：从形的角度考虑．联系勾股逆定理，将问题转化为在闭区间[m,m+4]上存在构成直角三角形边长的3个实数问题，于是m满足条件(m+4)2-m2>m2即可．

教师的思维过程也不是一帆风顺！“他山之石可以攻玉”，教师的探求过程与数学直觉对引导学生架起“沟通已知与未知间的桥梁”有借鉴作用．讲评时笔者设计了如下问题串：

1)求出f(x)在[0,2]上的最值．

(求得f(a),f(b),f(c)∈[m,m+4]是“定向”.)

2)如何判断3个数能否构成直角三角形的3条边？

(学生马上想到勾股逆定理．)

3)在区间[3,5],[3,7],[3,4]上可以找到构成直角三角形3条边的不同实数吗？若区间[3,m]上存在构成直角三角形3条边长的实数，则m的取值范围是多少？

(解答问题3)后，很多学生悟到了原题中m应满足的条件“(m+4)2-m2>m2”．问题2)和问题3)是引导学生“逼近—成型”正确解法的过程．)

4)已知3条边，判断一个三角形是钝角、直角还是锐角三角形的常用方法是什么？

(学生很快说出“余弦定理”．问题4)迁移到原问题，把f(a),f(b),f(c)看成三角形的3条边长，原问题也就迎刃而解．)

3 反思试题命制意图，提升思维高度

高考难题既注重能力立意，又立足通性通法，知识组成上具有综合性、交汇性的特点．引导学生从命题意图的高度思考问题，是更高层次的解题．如果说从一题多解到多题一解的领悟，是既见树木又见森林，那么站在命题意图的高度解题，就是俯看森林还知树木．反思试题的命制意图与构成，揭开难题神秘面纱，一方面让学生对知识网络俯视更清晰、理解更深刻，让解题视野更高远、更开阔；另一方面对训练快速提取有效信息解决综合试题的能力有潜移默化之效；同时也让不同层次的学生在难题讲评中都有所获．

讲评难题时，可将试题信息进行化整为零，分析其中考查了哪些知识、哪些方法，它们是怎样组合在一起的，让学生从心理上认同“难题源于易”[2]．例如，揣摩本题命制过程：以大家熟悉的三次函数为载体，考查与极值、最值相关的参数取值范围问题．为体现压轴选择题的综合性、灵活性和选拔性，加入了“直角三角形”这一几何元素，再以“存在性问题”的开放式设问，使原本常规的问题变得更抽象和复杂，有效考查了学生综合分析问题、解决问题的能力及思维的正迁移能力．这一自觉“揣摩”的过程需要教师先在课前完成．

得出解答后，教师提问：本题主要考查了什么知识？用到哪些数学思想方法？

1)求三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在闭区间上的极值、最值．

2)解一元二次不等式ax2+bx+c<0．

3)余弦定理、勾股定理．

4)构成直角三角形的条件：若区间[p,q]上存在3个不同的正实数x,y,z，以x,y,z为边长的三角形是直角三角形，则p,q应满足什么条件？当q2>2p2时，必存在符合题意的x,y,z．

问题解决中蕴含了函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、极限思想．师生共同反思试题的命制过程与意图，是追求解题中“不畏浮云遮望眼，只因身在最高层”的境界．

4 反思试题的优化与变式，从解题到赏题

就题论题纠正答案，如入宝山而空返．难题解完不能见好就收，而应乘胜追击，扩大解题成果．要尝试从科学性角度优化试题；抓住问题本质属性变换已知、结论改编试题，使得学生对问题的认识更加全面而深邃，从而滋养思维品质，提升解决问题的元认知水平，丰富数学素养．

4.1 优化选项，让试题更科学

对于设计不完备，易被学生投机取巧，或偏离考查意图的试题，讲评时要鼓励学生在解题的基础上优化试题，使试题更科学、更具选拔功能，也使自己的思维更缜密、更有辨别力．当然这也值得命题者借鉴与反思．

( )

(2016年福建省福州市普通高中毕业班数学质量检测理科试题第4题)

这是一道严重偏离考查意图的选择题．学生的解答：由已知得cos 2α>0，排除选项A，B，又cos 2α≠1，故选D．原考查意图“余弦的二倍角公式、正弦的和差角公式、同角正余弦值的平方关系sin2x+cos2x=1的应用”都没实现．讲评时，可引导学生改变α的范围或备选项的取值，使试题臻于完美．

4.2 改编试题，让解题更深入

讲评试题谨防浅尝辄止，应在学生思维的最近发展区纵横捭阖，改编试题．“趁热打铁”，让学生在理解性学习的基础上拓展思维，将解题的感受、感悟深入地融入到原有认知结构中，进而提升解题层次，引发更深思考．变式方式常有：变已知、变结论、从特殊到一般纵向推广、横向类比等．

变式1改变已知，让理解更到位.

若将区间[0，2]改为[0，3]，其余条件不变，则m的取值范围是______．

分析这时f(x)max=f(3)=m+20，故

(m+20)2>2m2，

得

变式2执果索因，让思维更深刻.

若选A，试题条件应做何变化？

分析把条件变为：对区间[0，2]上任意3个不同的实数a,b,c，使得以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形都是锐角三角形．依题意，

2m2-(m+4)2>0，

得

即时的“变式”，使原本难以逾越的鸿沟“f(a),f(b),f(c)与直角三角形的关系”变得畅通无阻，让学生感叹当初“云深不知处，只缘身在此山中”．

5 结束语

高考总复习不应是知识的简单重复，而应是知识理解的升华、知识架构的丰满；是解题能力的提升、求解策略的培养[3]；是解题信心的树立、学科素养的练就．试题讲评，教师要以教会学生思考，培养其独立探索、解决问题的能力为目标．教育家弗赖登塔尔说：“反思是数学思维活动的核心和动力，没有反思，学生的理解就不可能从原有水平升华到更高水平．”复习教学中，试题讲评要着眼从学生、教师、命题、改题这4个维度进行深层反思，从本质上提升讲题实效；通过对疑难问题的讲评分析，让学生张开思维的翅膀，穿越知识交汇的藩篱，在问题解决的广阔天空中尽情翱翔，也让试题讲评课闪耀智慧的光芒．

[1] 罗增儒．数学解题学引论[M]．西安：陕西师范大学出版社，2001．

[2] 王修汤．讲评高考题：讲什么，评什么[J]．中学数学教学参考：上旬，2016(12):47-49.

[3] 易文辉．2016年全国数学高考Ⅰ卷试题特点及教学建议[J]．中学教研(数学)，2016(11)：25-29.

2017-07-30基金项目：2016年福建省基础教育课程教学研究课题(MJYKT2016-194)

邱 云(1975-)，男，福建宁化人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

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1003 - 6407(2017)11-06-04