探究一道导数试题的命题手法及应用*

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(泉州市第五中学,福建 泉州 362000) (泉州市实验中学,福建 泉州 362000)

探究一道导数试题的命题手法及应用*

●杨苍洲●崔红光

(泉州市第五中学,福建 泉州 362000) (泉州市实验中学,福建 泉州 362000)

文章通过探究一道导数压轴试题的命题手法，得到一种“以直代曲”的命题方法，并应用此方法命制出两道具有一定难度的导数试题．

命题手法; 以直代曲; 试题命制

在学校的一次单元测试中，命题教师选用了一个网题作为试卷的压轴题．大部分学生和教师都感觉本题难以下手，过后在研究网络提供的试题答案时，也因为答案的神来之笔而感觉到一头雾水．为了彻底研究清楚此类试题的解题方法，笔者对试题的命题手法进行探究．只要探明命题者的命题思路，顺着命题思路进行解题，解题就显得自然、流畅[1]．

1 题目展示

例1已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)．

1)若函数f(x)的图像与直线y=x-1相切，求实数a的值；

2)当1

2 命题手法探究

笔者首先思考，命题者如何构造出第2)小题中的不等式？接着思考，第1)小题对第2)小题是否有承上启下的作用？带着这个疑问，结合平时的解题、命题经验，笔者开始了试题命题手法的探究之旅．

f(x)=(x+1)lnx+(c-1)x+d,

其中c,d可以根据需要进行调整．

第二步：设定函数在拐点处的切线．命题者设定函数在拐点(1,0)处的切线为y=x-1，则由f′(1)=1，f(1)=0,可知c=0,d=1，此时，

f(x)=(x+1)lnx-(x-1)．

由此，命题者找到了试题的背景函数．

第三步：进行合理设问．一道试题的几个设问往往具有一定的相关性，设问与设问之间呈现层层递进的关系．第1)小题常常是第2)小题的台阶，为第2)小题的解答提供方向,埋下伏笔．

命题者在题干中引入参数a，使函数变为

f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),

并在第1)小题中提供条件“函数f(x)的图像与直线y=x-1相切”,从而求出实数a的值．

图1

第1)小题的设置，除了考查导数的几何意义外，也引导解题者去探究“当a=1时，曲线y=f(x)与直线y=x-1的位置关系”，从中发现“当x>1时，曲线y=f(x)在直线y=x-1的上方；当0

令g(x)=x-1．观察图像(如图1)，命题者发现：当01时，f(x2)>g(x2)．由此可得

f(x2)-f(x1)>g(x2)-g(x1).

为了证明此不等式，可把问题转化为证明不等式

f(x2)-g(x2)>f(x1)-g(x1),

可以构造函数h(x)=f(x)-g(x)，证明“当x>1时，h(x)的最小值[h(x)]min”恒大于“当0

此问题的难度不大，不足以压轴．因此，命题者再次进行试题变形．

本题的命题思路是：通过比较自变量x在直线x=1两侧时，函数f(x)的函数值与其切线对应函数值的大小，从而构造出待证不等式．基于此，命题者从各个角度进行编制尝试．

实际上，当1

f(x)>g(x)>0，

f(x-1)

从而可构造不等式

f(x)-f(x-1)>g(x)-g(x-1)，

即[(x+1)lnx-(x-1)]-[xln(x-1)-(x-2)]>(x-1)-(x-2).

也可以进行如下变形：当1

f(x)>g(x)>0，

可得

(x+1)lnx-(x-1)>x-1,

即

(x+1)lnx>2(x-1),

从而

当0

f(x-1)

可得

xln(x-1)-(x-2)

即

由式(1)和式(2)可构造不等式

此不等式即为题目的待证不等式．

至此我们探究出此类试题的命题思想：以直代曲和比较大小．

3 基于此手法的试题命制

基于上述试题命题手法的探究，笔者谈谈如何运用此方法进行试题的命制．

图2

笔者拟构造一个拐点在原点、单调递增，且与直线y=x相切的函数f(x)．根据设想，可知所设定的函数需满足f(0)=0，f′(0)=1，f″(0)=0．现设定f″(x)=(x+1)ex-1，则

f′(x)=xex-x+1，

作出函数f(x)的图像，并作出曲线y=f(x)在原点处的切线y=x，其图像如图2所示．第1)小题拟在题干中引入参数，以“曲线y=f(x)在原点处的切线y=x”为条件，求解参数的值；第2)小题拟在第1)小题的前提下，基于研究函数的图像，根据图像的特征提炼不等关系，设置问题．经过反复推敲、琢磨，成题如下.

1)若函数f(x)的图像与直线y=x相切，求实数a的值；

分析1)设切点为(x0,f(x0))，由已知可得

f′(x)=xex-ax+1,

依题意可得

(4)

由式(3)和式(4)得x0=0,a=1或x0=2,a=e2，即a=1或a=e2．

2)因为a

g′(x)=x(ex-1)．

当x>0时，ex-1>0，g′(x)>0；当x<0时，ex-1<0，g′(x)>0．故当x∈R时，g′(x)≥0，g(x)单调递增．又g(0)=0，从而当00，即

亦即

(5)

由0

从而

g(-x)<0，

即

得

(6)

由式(5)和式(6)得

即原不等式成立．

我们运用“以直代曲”的手法命制了例2，通过同样的手法，可以得到下述的例3．例3的命题过程不再赘述，试题及其解答一并展示如下，供读者赏析.有兴趣的读者可以尝试推演笔者的命题心路，学习命题方法．

例3已知函数f(x)=ex-1-xlnx-x+1．

1)当a≤-1时，证明：关于x的方程f(x)=ax+1-a有且只有一个实根；

2)当0

分析1)令F(x)=f(x)-(ax+1-a)=

ex-1-xlnx-(a+1)x+a，

得

F(1)=0，F′(x)=ex-1-lnx-a-2．

下面证明：ex≥x+1．令h(x)=ex-(x+1)，则

h′(x)=ex-1.

由h′(x)=0得x=0，当x∈(-∞,0)时,h′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，h′(x)>0,则h(x)在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增，故h(x)的最小值为h(0)=0，因此

ex≥x+1.

对上述不等式变形可得

ex+1≥x，

即

lnx≤x-1,

因此当a≤-1时，

F′(x)= ex-1-lnx-a-2≥

x-(x-1)-a-2≥-a-1≥0，

故F(x)单调递增，且F(1)=0，此时F(x)在定义域内有一个零点，即原方程有一个根．

2)由第1)小题可知，当a=-1时，

F(x)=f(x)-(ax+1-a)=ex-1-xlnx-1,

F(x)在(0,+∞)上单调递增，又F(1)=0，从而当0

ex-1-1

则

又10，即

ex-1>(x+1)ln(x+1)>0，

则

故

[1] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准[M]．北京：人民教育出版社,2003．

[2] 杨苍洲．2015年高考湖北文科卷压轴试题的命题手法探究[J]．中学生理科应试，2017(4)：2-3．

2017-07-05

杨苍洲(1979-)，男，福建泉州人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

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1003 - 6407(2017)11-27-03