抽象思维引领下的数学概念教学

陈朝阳

摘 要：在数学概念教学中，教师应以感知概念、形成概念、理解概念、深化概念为序，由具体到抽象，按照学生的认知规律设计教学，引导学生学会由具体事物到抽象概念的形式，把思维变式与反思渗透其中，提升思维品质.

关键词：抽象思维；概念教学；反思提升

数学的核心概念在教学中至关重要.在不同的教学观指导下，会有不同的教学设计.一是关注数学概念的内涵，教学过程中将概念的内涵层层演绎，深入浅出地展示在学生面前，或在师生的对话交谈中体验概念的生成过程，为培养学生的创新意识打下基础，但由于概念的内涵展示强调过程，因而在“八股文”式的教学评估中难以实施.二是关注数学概念的外延，教学中忽视概念内涵的挖掘，注重概念外延的深入挖掘，以提升学生的应试能力，这一教学设计方法成为目前中学教学的常态，因为它为中等水平的学生迅速提升应试能力，参与“立竿见影”式的教学评价提供捷径.三是既关注数学概念的内涵，又关注数学概念的外延，既介绍概念生成的背景，又在数学概念的外延上进行变式训练，这是在素质培育与应试能力训练的结合上寻找一种平衡，本文关于“充分条件与必要条件”的课例正是一次探索.

人民教育出版社A版数学选修1-1，§1.2.1“充分条件与必要条件”，结合实例给出推断符号“[?]”并引出充分条件、必要条件的概念.它们是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一.在“充分条件与必要条件”这节内容前，教材安排了“命题及其关系”作为必要的知识铺垫，并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件.本节所讲的充分条件、必要条件中的p、q与四种命题中的p、q内容是一致的，即它们可以是简单命题，也可以是“若p则q”形式的复合命题，但本节中，一般只要求p、q是简单命题，而不作更深的讨论.本节集中精力突破充分条件与必要条件，充分不必要条件，必要不充分条件概念，以及如何通过集合思想方法来判断，因为解决了这两个重要概念，就可以比较容易理解后面的充要条件的概念，本节课不涉及充要条件和既不充分也不必要条件，这也是教材设计者的用意之一.

一、感知概念

问题情境：

①请写出命题“若[x>a2+b2]，则[x>2ab]”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假；

②请写出命题“若[ab=0]，则[a=0]”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

T：观察学生填写，请学生回答上述问题.

S1：逆命题：若[x>2ab]，则[x>a2+b2]，为假命题；

否命题：若x≤a2+b2，则x≤2ab，为假命题；

逆否命题：若x≤2ab，则x≤a2+a2，为真命题.

S2：逆命题：若[a=0]，则[ab=0]，为真命题；

否命题：若ab≠0，则a≠0，为真命题；

逆否命题：若a≠0，则ab≠0，为假命题.

【设计说明】从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.问题情境①②在这里起到承上启下的作用，既复习了前面所学知识，又找准了学生知识结构上的生长点，为后面充分条件和必要条件的学习做准备.

问题1：能否改变②中的条件，即增加一定的限制条件，使原命题变成真命题？

T：数学课代表，你先来试一试！

S3： 设b为非零实数，若[ab=0]，则[a=0.]

T：学习委员，你有新的命题吗？

S4：若[ab=0]且[ab]=0，则[a=0]，…

【设计说明】此问题有较大的思维空间，不同層次的学生都能在这个问题上同层次地施展，以此让学生认识到命题中的条件与结论之间应该具备某种关系.

T：以上两个问题的解答可以发现有的命题真，有的命题假，即有的命题可以从条件推得结论，有的则不能；而另外也有命题只要结论成立，就一定不能少了命题给出的条件，但是没有这个条件，结论不一定能成立.那么命题中的条件与结论到底有怎样的因果关系呢？

二、形成概念

T：为了简洁表达因果关系，当“若p，则q”是真命题时，我们就说，由p可推出q，记作“[p?q]”； 当“若p，则q”是假命题时，我们就说，由p推不出q，记作“p q”.

请用“[?]”和“ ”符号表示“感知概念”中的①和②及其逆命题.

S6：原命题条件推不出结论，填“ ”， 逆命题条件推出结论，填“[?]”.

【设计说明】理解“[?]”符号的含义，为引出定义奠定知识基础.通过研究原命题，对建立在学生原有认知水平上“充分”这个感性化的词汇获得数学意义上的认识，引出充分条件的定义；通过研究逆否命题，又让学生理解了q是p成立的“必须要有”的条件，引出必要条件的定义.

定义：“p[?]q”，也就是条件p“足以”保证或“充分”保证结论q成立，这时我们说p是q的充分条件（sufficient condition）；从命题的角度看，“[p?q]”，根据逆否命题与原命题的等价性，也就是如果没有q成立，就一定没有p成立，q成立是p成立“必须要有”的前提条件，我们说q是p的必要条件（necessary condition）.

T：“[p?q]” 称p是q的充分条件通俗理解：要使q成立，有p成立就足够了；称q是p的必要条件” 通俗理解：q是p成立的必不可少的条件，若没有q，则p一定不成立.“[p?q]且q p”表示p是q的充分而不必要条件；q是p的必要而不充分条件.

T：请用新定义表述完成上述两表.

S7：∵p：[x>a2+b2][?] q：[x>2ab]，∴p是q的充分条件.

T：把原命题和逆命题合并思考，又如何表述？endprint

S7：q：[x>2ab]， p：[x>a2+b2]，∴p是q的充分不必要条件.

S8：∵p：[ab=0] q：[a=0]，而q：[a=0][?]p：[ab=0]，∴p是q的必要不充分条件.

【设计说明】通过以上的实例，学生亲身感知了概念的发生与形成过程，使充分、必要条件定义的引入顺理成章，水到渠成，帮助学生突破难点.

问题2：如何判断p是q的什么条件？

S9：p可能是q的充分条件，也可能是必要条件.故判断能否有[p?]q或[q?p].

例1 判断p是q的什么条件，完成下表：

S10：∵x=1[?][x2-4x+3=0]，[x2-4x+3=0][?] x=1，∴p是q的充分不必要条件.

S10：∵f（x）=x[?][f（x）]在[（-∞，+∞）]上为增函数；反推不成立，∴p是q的充分不必要条件.

S10：∵x=[2]时，x2为有理数；“[x]为无理数” “[x2]为无理数”，反过来，我不会判断.

T：谁能判断？

S11：[x2]为无理数[?][x]为无理数，否则，若x为有理数，x2为有理数，与[x2]为无理数矛盾，∴p是q的必要不充分条件.

S12：∵两个三角形全等[?]这两个三角形面积相等，反推不成立，∴p是q的充分不必要条件.

T：以上同学的分析和判断正确，谁将判断p是q的什么条件的步骤理一理？

S13：首先认清条件p和结论q；然后考察是否有[p?]q和q[?][p]，即原命题和逆命题的真假；最后作出判断.

三、理解概念

例2 下列条件中哪些是[a+b>0]的充分而不必要条件？

A.[a>0，b>0] B. [a<0，b<0]

C. [a>0，b<0]且[|a|>|b|]

D.[a=3，b=-2] E.[a>-b] F.且[|a|>|b|]

引导：A，B，C，D，E，F中，谁能推出[?][a+b>0]，但反过来，推不出.

S14：∵[a>0，b>0]，[a>0，b<0]且[|a|>|b|]，[a=3，b=-2]能推出[a+b>0]，反过来，推不出，∴选A，C，D.

【设计说明】加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性.

体验：请同学们自己编写一个“充分而不必要条件、必要而不充分条件”的数学命题.

S15：若x>y>0，则x2>y2.

S16：在空间，两直线无公共点，则两直线为异面直线……

【设计说明】给学生提供活动的时（思维时间）空（思维空间），让主体主动构建自己的认知结构，帮助学生深化理解并运用定义，同时让学生在这一过程中获得成功的喜悦.

四、深化概念

T：如果[p][?]q，但q [p]，那么[p]是q的充分不必要条件，q是[p]的必要不充分条件.

另外还可以表述为：q的充分不必要条件是p，p的必要不充分条件是q.

例3 写出[|x|>1]的一个必要不充分条件

.

思考：寻找结论q，使得[|x|>1][?]q，但q [?][|x|>1].

S17：x∈R

S18：x≠0，…

问题3：如果p表示某元素x属于集合P，q表示该元素属于集合Q，如何用集合间的关系理解“[p][?]q”的含义？

结论：“[p][?]q”即：[x∈P?x∈Q]，则[P?Q.]

T：若[P?Q]，则p是q的充分条件；若[Q?P]，则P是Q的必要条件.

例4 设f（x）=x2-4x（x∈R），则f（x）>0的一个必要不充分条件是（ ）

A. x>0 B. x<0或x>4

C. x>2 或x<0 D. x>5或x<-1

S19：选择D.

提示：从A，B，C，D，寻找结论q，使得 f（x）>0[?]q，但q f（x）>0.

从集合角度思考就是由P=（-∞，0）（4，+∞）寻找一个集合Q，使得[P?Q].

T：物理课代表，你试一试！

S20：选择C.

【设计说明】强化认清条件和结论的重要性，使学生学习用集合的思想进行判断，更直观、快捷.

高考体验：（选择近几年高考中充分条件与必要条件的8个题，略）

【设计说明】8个高考题强化基础，促进学生养成正确的思维习惯，帮助学生突破难点.学生做全对的占20%，做对7个以上占50%，做对6个以上占85%以上.

T：通过本节课的学习，你主要有哪些收获？

S21：我知道了什么是充分条件、必要条件，什么是充分不必要条件、必要不充分条件.

知道了判断充分条件、必要条件的三个步骤以及如何通过集合工具来判断，但在判断时，对于例3、例4的表述方式判断有些不习惯.

T：由S21的回顾，本节课所学内容我们可以概括为：

二概念：充分条件，必要条件.

三步骤：①找出p，q；②判断p[?]q与p[?]q的真假；③下结论.

一思想：用集合思想判断命题因果关系.

课例研究之一是关注课堂文化，营造课堂文化的主体是学生、教师、教材与教学设备.

从学生角度来看，上述课例的教学对象是数学思维层次较低的学生，对于充分条件、必要条件的数学本质，将不具备“形”的逻辑关系转化为“表格”式的直接能力，教师的引导、注意与点评语言给学生指明了探索的方向.

从教师角度来看，上述课例中的问题是教材与教师设计与构造的，学生是否能主动地提出几个问题，或者是学生根据自己学习中的困惑提出一些问题来，这也从另一个侧面反映我们的课堂中学生主动提出问题的氛围没有形成，這与新课程教育理念相差较远，值得进一步思考与研究.endprint