基于“学为中心”教育观的“分式的基本性质”教学探索及反思

张炜

[摘 要] “学为中心”的教育观就是将教师“以教论学”转变成“以学论教”的课堂教学模式，强调学生是学习的主体. 在这样的教育观的指导下，教学探索的重点目标是“学什么，为什么学，怎样学”等重要内容.

[关键词] 教育观；学为中心；教学探索

“学为中心”的教育观是教与学的辩证关系的一种看法. 初中数学“学为中心”教育观的基本观点是：首先，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者. 其次，学生的学是课堂教学的核心，学什么、为什么学、怎样学等应成为教学探索的重要内容. 特别是在学习过程中，除了获得相应的基础知识和基本技能的提升，更重要的是学习之后问题探索思维上的提升，基本数学思想方法及基本活动经验的收获. 但笔者在浙江省象山县举行的以浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册“5.2 分式的基本性质”为载体的“同课异构”式“学为中心”的数学教师培训活动中发现，课堂教学存在着共同的问题：学什么、为什么学、怎样学等内容存在缺失或者显得突兀. 这有悖于“学为中心”的教育观，不能满足教与学和谐发展的需要. 基于此，笔者对本节课重新进行了进一步地教学探索，本文简录其教学过程，并提供教后反思，以飨读者.

教学过程简录

第一阶段：以探索有价值的“数学题材”为载体的活动

环节1：课前预习——自主探索

课前，教师设计如下的“先行组织者”供学生课前预习，并允许合作探讨.

（3）已知这样一个表达式：+2b，请同学们任意给出你喜欢的a，b的值. 老师马上就能给出答案，你知道其中的奥妙吗？

反思：在问题（1）中每一组左边的分式化成右边的分式体现了什么思想？其数学本质是什么？

在问题（2）中，根据图1和图2的联系，能给你哪些启示？

在问题（3）中，你能发现老师速算的秘诀吗？你从中获得哪些启发？根据分数与分式的类比性，你从中获得分式的哪些不变性？

环节2：汇报交流——矫正互学

上课一开始，教师出示课前布置的问题，要求学生汇报预习成果，并进行交流. 必要时，教师进行追问、激励与评析. 在此基础上，教师进行总结.

问题（1）中的每一组彼此相等，前两个等式的左边，分子、分母采用扩大倍数，分子、分母扩大的倍数分别是6倍、10倍；后三个等式的左边采用分子、分母缩小倍数，缩小的倍数分别是2a3，x，a-b. 每个分式从左边到右边是化归的思想，其数学本质是将分式的变形转化成分子、分母中整式的变形. 分子、分母的系数从分数化为整数，在变化中存在不变性. 后三个等式中从左到右的变形体现了数学运算的简约性.

在问题（2）中图1的宽=，图2的宽=，在宽不变的前提下，面积与长扩大或缩小的倍数一致，这是后续研究正比例与反比例的关键. 图形的直观性有利于直观认识周围世界的变化，从变化中发现規律；“数”的抽象通过“形”的直观来刻画，有利于学生用直观、多维度的眼光看世界.

在问题（3）中分式约分之后为a-b，再合并同类项a-b+2b=a+b. 在运算的过程中，分式的合理变形是分式运算化难为易的重要环节. 如何合理变形？如何学以致用？分式的基本性质蕴涵在分式的运算中，类比不仅在分式基本性质的产生中，同时也在分式的运算中. 类比不能局限在分式基本性质产生的认识上，应具有全面性，既要与分数变形上的横向类比，也应该注意与整式甚至是代数式的纵向比较.

第二阶段：以生成“数学方法和理论”的引导探究

环节3：引导探究——合作研讨

师：既然分式的基本性质是形成分式变形的关键，是分式的约简和分式混合运算中分母变形的核心依据，这决定了从数学角度来认识分式性质的必要性. 这节课的研究对象就是分式的基本性质（揭示课题）.

接着教师提出以下具有挑战性的问题：分式的性质可以类比分数，那么你认为分式的基本性质在运用中会出现哪些易错点？请大家合作研讨并发表自己的观点，结合具体的实例来说明.

以下是学生在独立学习的基础上小组合作交流后的汇报结果：

师：非常好，在变化中寻求不变性是研究数学的基本思想，但需要科学的方法. 分式的基本性质从书写形式上可以根据分子、分母的整式特点分为单项式和多项式；根据运算的变形特点分为特殊（符号变化）到一般（字母系数的变形）；从运算的类别可以划分为分式的约分（缩小倍数）和分式的通分（扩大倍数）；从运算的题型可以划分为三种表现形式，第一种是字母系数符号的变形，第二种是字母最高次项的系数的变形，第三种是分式的约分与通分. 这些都是认识分式基本性质的视角.

环节4：建构理论，综合概括

在此基础上，进行分式基本性质的知识点结构的概括.

把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分，约分要约去分子、分母所有的公因式. 分子、分母没有公因式的分式叫作最简分式.

（1）本质是同变与不变，即：分子与分母同时乘以或者除以不为零的整式（简称同变），分式的值不变（简称不变）.

（2）蕴含的数学思想：从特殊（具体的实例）到一般（抽象的字母）；化归（从分式整体的变形化为分式的分子、分母中整式的变形）；类比（分式的基本性质类比分数的基本性质）.

（3）研究方法：观察、猜想、归纳、概括、验证.

（4）数学价值：将分式的运算化归到整式的运算，分式的简洁美.

（5）研究分式的基本性质的基本过程是“三部曲”：①学什么——分式的基本性质. 即在分式的值不变的前提下，分式的变化化归到分子、分母中整式的变化. ②为什么学——解决含有分式的运算、变形等问题. ③怎样学——方案1：类比分数的除法法则，猜想、归纳、概括、验证、归纳法的运用，从特殊到一般，化归思想. 方案2：从生活材料的问题解决进行抽象、概括、猜想、验证，数形结合思想.endprint

（6）分式与分数的联系结构图（图3）.

第三阶段：以解决“具体问题”为载体的数学应用

环节5：尝试应用——检测评价

教师提出3个问题，学生在独立学习的基础上交流合作，必要时教师进行积极地认知干预及解题过程的示范.

问题1：填空.

（3）用分式表示下列各式的商，并约分：①14ab÷（-21ab2）；②（3a2+a）÷（1+6a+9a2）.

设计意图：进一步巩固综合运用有关知识与经验解决实际问题的能力，强化“为什么学”.

环节6：反思拓展——深化认识

问题1：分式的分母中字母的系数化为整数要乘的倍数是怎样确定的？

问题2：分式的分子与分母中含有字母最高次项的系数化为正数，通常将负号放在哪里？

问题3：分式的分子与分母什么情形下适合约分？什么情形下适合通分？约分和通分与分式的基本性质的关系是什么？

第四阶段：以交流“问题清单”内容为载体的反思总结

环节7：回顾思考——交流合作

教师在解题后反思的基础上，列出“问题清单”，要求学生在思考的基础上汇报.

（1）分式的基本性质是什么？学习分式的基本性质有何意义？

（2）分式的约分与分式的基本性质的关系是什么？你认为约分时的注意事项有什么？

（3）分式的通分与分式基本性质的关系是什么？你认为分式通分时的注意事项是什么？

（4）分式的基本性质中数学思想方法有哪些？

（5）你在学习的过程中获得了哪些数学活动经验？有何感触？

（6）你认为分式还应该研究什么呢？

环节8：归纳提炼——课堂总结

教师在倾听学生汇报后，让学生欣赏分式的基本性质的自述，这部分内容可以移至课后.

Hi！我是分式的基本性质. 我的本质是整式除法运算的变化特点. 我是在分式的值不变的前提下的一种书写变形. 从运算的方式上我的出现有两种，一种是分子与分母扩大倍数，通分的需要；另一种是分子与分母缩小倍数，约分的需要. 我的亲缘是分数的基本性质，你想熟悉我的性格可以和我的兄弟（分数）进行类比. 从整式的特点细化我为三种形式：第一种是特殊的倍数（-1），也称为符号变化，含有字母的最高次项的系数从负数变为正数；第二种是含有字母的系数从分数（或小数）化为整数，这样我的外表可以更简洁、靓丽；第三种是我在分式值不变的前提下，可以增肥也可以瘦身，也称为通分（或约分）. 你们之所以喜欢我，因为我是分式运算的源泉. 没有我的出现，分式的任何运算都会失灵. 我的变形具有多样性，但也具有不变性，抓住不变与同变是关键. 不变是分式的值不变，同变是指分子与分母同时改变. 你可以用认识分数的变形来理解我，也可以用化归的思想，从整式除法的特点来认识我的变化. 正确掌握我的变化，是后续分式运算的依据. 你在认识我的过程中，还能发展智力、能力和个性.

教学反思

1. “学为中心”的课堂教学应还给学生真实的“学习过程”

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称新课标）指出，有效的课堂教学在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求解决问题的过程. “学为中心”就是把学生对于知识发生、发展的认识过程作为课堂的核心，教学设计围绕学生对于新知识的思考过程. 有专家指出，有效的课堂教学本质就是过程与结果的和谐关系. 知识的获得既要有结果，也要有相应的过程. 应当既有认知的“前半段”，即：学什么，也要有认知的“后半段”，即为什么学、怎样学. 认知过程的前半段是感性到理性的认识过程，以获得数学结果（或解决问题）；认知过程的后半段是理性认识的加深并反作用于实践.

通过反思来欣赏数学结果，感悟蕴含的数学思想方法等过程. 具体讲，首先通过在预习先行组织者中提出问题，思考问题揭示课题的现实意义：学什么、怎样学. 其次，通过问题解决和解题后的反思揭示课题的数学意义：为什么学. 课堂教学的最终目的是实现学生解题思维的升华，是在以学习材料為载体的基础上实现知识与能力的提升，实现从现象看本质，体会解题过程中蕴含的数学思想方法与解题经验的提炼过程；是在“做中学”中实现“授之鱼”到“授之渔”的发展过程.

在感受问题解决的全部过程中认识数学是过程教育，揭示了课题学习的教育意义：数学是一门科学，科学的认识是需要探究过程的，是满载着疑惑，不断地进行思维诠释的愤悱的启发过程. 这个过程不是教师教、学生听、机械模仿的被动式教学，是以学生的学习经历过程为核心，从不知到知之，再到熟知的历程. 通过学生参与问题互动式过程，得到问题的解决、方法的归纳，问题解决后方法、经验的反思总结与提炼.

其具体操作方法有以下几个特点. ①类比结合确定学什么——分式的基本性质，并初步形成理论. ②数形结合确定为什么学——分式的基本性质现实意义化，化抽象为直观. ③化归结合确定怎样学——分式的基本性质，类比到分数的基本性质可以温故而知新，转化到整式的认识，提炼分式基本性质的本质——不变与同变. 这符合学生“最近发展区”的认识，通过从知识的形成、发展、理解、应用的认识过程使学生不仅知其然，更知其所以然，有利于教与学的和谐发展.

2. “学为中心”的课堂教学注重“四基”的落实

新课标指出，学生应当在课堂教学中实现理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验（简称四基）. 本节课在“学为中心”理论的指导下，注重“四基”的落实. 一是通过课前预习体会课题学习的必要性，改变多数教师采用开门见山的导入模式，虽然开门见山入题比较快捷，但这样的模式是教师“逼着”学生接受学习的内容，成为学习的“容器”. 二是采用类比反思代替了学生高强度、大容量的训练，通过学生的自我总结，揭示分式基本性质的数学本质，实现理解和掌握数学知识和技能的目标. 三是注重学生在数学活动中学会解题反思，反思问题中蕴含的从现象看本质、数学思想的总结归纳、解题中蕴含的“核心思想”. 四是实现从学生之间、师生之间解题经验的分享，知识上的“导富济贫”. 五是在课题学习中获得“共同富裕”、通过巩固练习后的问题清单式的课堂小结，实现数学知识的融会贯通，举一反三，达到做一题、通一片的课堂效果.endprint

3. 用“预习先行者”来提供保障

课前的“先行组织者”有这样一些功能：一是为学生提供温故知新、新知识探索的平台，避免教师上课开门见山，学生摸不着头绪. 二是为新知识提供“导富济贫”的先备条件，使得不同层次的学生在学习新知识之前达到必要的知识储备. 三是避免预习流于看书、直奔结果的肤浅的先行方式. 四是有利于打开理性思维的“闸门”，避免在学习新知识时教师主宰思考问题的一切. 五是避免教师唱独角戏，操纵问题思考的过程. 六是有利于独立思考与合作学习的有效结合，调动学生探求新知识的积极性，使得数学冰冷的美丽成为学生火热的思考. 七是帮助学生克服畏惧心理，数学的思考不是少数人的聪明，而是大多数人历经千辛万苦、充滿荆棘的探索，是人人都能尝试、坚持都会成功的坎坷过程. 八是为贯彻新课标理念，面向全体学生，满足人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同发展的需要.

4. 用有效的数学活动提升学习的有效性

一是通过预习先行者感受分式基本性质的必要性，如分式的字母系数化为整数是为了书写的需要，提倡数学的简约性；分式分子分母的扩大（或缩小）目的是通分或约分的需要，提倡数学的连续性；不是单一因为类比分数而产生，分式的符号问题也是为了解决分式中分子与分母整式符号变化的需要，是后续分式的混合运算中符号变化的依据. 二是通过类比分数基本性质的易错点反思分式基本性质使用中的易错点，改变教师灌输、一讲到底的现象. 另外通过解题反思，发现分式的变形化归到整式的变形，在运用中的核心是抓住不变与同变，不变的是值，同变的是分子与分母的扩大（或缩小）. 三是通过学生的自我总结、归纳，认识到学习运算不是一味地做题，而是发现题目中蕴含的数学思想方法，解题的经验. 四是从分式出现的三种外在变形，“举三反一”，提炼分式问题解决中的数学本质——分式的基本性质. 揭示本节课的重点是认识分式的基本性质及其应用之一约分. 五是从学生的反思中化解难点，认识到分式的基本性质中分式的同变与不变.

总之，我们在“学为中心”课堂理念的教学模式中驾驭课堂教学，应给学生“真、实、细”的内需. “真”的学习意义，摒弃为了学而学的机械模仿；“实”的课堂立意，充实、真实为学生所需；“细”的学习程序，从学生的“最近发展区”出发，设置合理有效的问题情境，循序渐进，让学生真正成为学习的主人，学得轻松，学得快乐，学得透彻. 使课堂真正成为学生成长的舞台，这样的课堂才会成为和谐的课堂.endprint