“一类图形的最值问题”教学实录与反思

戴娟

[摘 要] 最值问题是近几年中考命题中的热点问题，也是压轴题常见的问题. 本文从“将军饮马”问题出发，结合“垂线段最短”“两点之间，线段最短”，根据图形自身性质解决“最值問题”.

[关键词] 将军饮马；最值；轴对称图形；最短

基本情况

1. 背景介绍

本课例是中考第二轮复习的一节研讨交流课. 本课例采取学案组织教学，学案设计分两块：一块是“将军饮马”问题的变式和拓展，用的是“两点之间，线段最短”；第二块是“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”的综合运用，旨在让学生掌握除了用函数解决最值问题以外，还可以根据图形自身性质，用上述定理解决最值问题.

2. 授课对象

初三年级的学生具备探索的基本活动经验，有比较好的合作与交流能力，有良好的运算基础和逻辑推理能力，有较强的总结概括水平.

3. 教材分析

学生对常见的用函数解决最值问题很拿手，但对根据图形自身性质求最值问题很陌生. 本节课通过复习“将军饮马”模型，引导学生参与知识回顾，然后将模型放在几何图形中，让学生通过观察、类比、归纳，体会到在这类问题中，其实就是利用“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个定理，结合几何图形自身性质特点来解决，进而总结这类问题的中考命题规律和方向，这也是本节课的重点和难点.

4. 教学目标？摇

（1）熟练掌握“将军饮马”模型，并能总结这类问题中考命题的规律和方向.

（2）会灵活应用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”，结合图形自身性质“化动为静”地解决问题.

课堂实录

1. 知识回顾，铺垫准备

师：我们一起来看一下这张图（图1），这张图大家熟悉吗？

生（齐）：非常熟悉.

师：你能用这张图编一个问题吗？

生（齐）：你能在直线l上找一点P，使得PA+PB最短吗？

师：你是怎样找出点P的位置的呢？

生1：作出点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于点P.

师：为什么此时的点P能使PA+PB最短呢？你能证明吗？

生1：在直线l上找任意一点P′，连接P′A，P′B，根据“两点之间，线段最短”，得P′A+ P′B≥A′B= PA+PB.

师：说得非常好！这个模型我们通常称之为“将军饮马模型”—“两定一动型”.

设计意图？摇 通过复习“将军饮马”模型，引导学生参与知识回顾，为下面的学习架设“认知桥梁”. 学生的踊跃回答为这节课开了好头.

2. 结合考题，探索规律

【活动1：中考中的“将军饮马模型”】

试题 （1）如图2，在正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为______.

（2）如图3，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为______.

师：在图2中，你能找到“将军饮马模型”吗？两个定点和一个动点在哪里？

生（齐）：能. 定点为E，B，动点为P.

师：（通过几何画板隐藏线段BA，DA，DC，EC，EB，只留下线段AC，点E，B，P）那么点P的位置会作了吗？

生（齐）：会.

师：我们再来看看图3. 你能找到“将军饮马模型”吗？两个定点和一个动点又在哪里？

生（齐）：能. 定点为A，B，动点为P.

师：（通过几何画板隐藏线段MA，⊙O，只留下线段MN，点P，B，A）点P的位置会不会作？

生（齐）：会.

师：（启发）我们来总结一下，中考中通常把“将军饮马模型”放在什么背景里？

生1：几何图形里.

师：（追问）什么样的几何图形里？

生（齐）：轴对称图形.

师：（追问）为什么是轴对称图形？

生2：因为轴对称图形容易作对称点.

师：说得非常有道理！轴对称图形的性质也比较丰富. 那么，除了正方形、圆以外，还有哪些常用的轴对称图形？

生（齐）：等边三角形、矩形、菱形、角等.

师：我们来验证一下同学们的猜想是否正确. （播放PPT验证学生猜想）近几年的中考中， “将军饮马模型”往往放在轴对称图形中，再结合图形自身丰富的性质可求得最值.

设计意图 先给学生展示两道关于“将军饮马模型”应用的中考题，让学生及时发现和感知命题思路和方向. 学生通过积极思考和探究，从具体到抽象，从猜测到验证，能顺利把握命题规律，学会提炼题目本质.

【活动2：变式探究，模型归类】

师：我们将“将军饮马模型”的条件改一改，（课件演示）如图4，E是⊙B上一动点，你能在直线l上找一点P，使PA+PE的值最小吗？

师：（启发）定点B改为动点E，怎样作出点P呢？PB虽改为PE，能否向线段PB靠一靠呢？我们连接P，B两点，大家有何发现？

生（齐）：发现了EP和BP都在△BEP中.

师：PA+PE+BE影响PA+PE取最值吗？

生（齐）：不影响.

师：因为PA+PE+BE≥PA+PB，所以PA+PE≥PA+PB-BE，即PA+PE≥PA+PB-r. PA+PE取最小值就是PA+PB取最小值，同学们现在会作出点P了吗？

生（齐）：会，还是“将军饮马模型”的作法.

师：那我们来挑战一下2014年无锡中考卷上的一个问题——如图5，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A和⊙B的半径分别为2和1，P，E，F分别是边CD，⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是______.

师：在这个题目中，同学们是怎么作出点P的？

生1：和上面你讲的那个变式的道理是一样的.

师：你能给大家讲讲吗？

生1：因为PE+PF+AE+BF≥PA+PB，所以PE+PF≥PA+PB-AE-BF，即PE+PF≥PA+PB-R-r. 点P还是“将军饮马模型”的作法. 作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，则（PE+PF）=A′B-R-r.

师：非常好！无论是“两定一动”“两动一定”还是“三动”，都可以转化成“将军饮马模型”.

设计意图？摇 通过改变“将军饮马模型”的条件，将一个定点改为动点作为变式，让学生通过探究，发现本质上还是PA+PB最小的问题，进而再将一个定点改为动点，即三个全部都是动点，结合变式的启示发现本质上还是PA+PB最小的问题. 学生在变式探究的过程中，在“探”中思，在“思”中归纳，逐层推进，符合学生的认知规律.

【活动3：巩固旧知，拓展延伸】

试题 如图6，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值是______.

师：EF的最小值会求吗？

生1：因为四边形AEPF是矩形，所以EF=AP，又AP的最小值为4.8，故EF的最小值为4.8.

师：很好！AP的最小值的依据是什么？

生1：垂线段最短，当AP⊥BC时，AP取得最小值.

师：4.8是怎么算出来的？

生1：等积法.

师：除了“两点之间，线段最短”以外，“垂线段最短”也是图形求最值问题的一个比较重要的依据. 下面我们一起来挑战一个练习题.

师：如图7，在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______.

师：大家拿出铅笔，自己先动笔画一画，琢磨琢磨.

师：（几分钟后）有没有同学已经有想法了？

生2：作点N关于直线AD的对称点N′，于是MN=MN′，BM+MN=BM+MN′≥BN′.

师：你是怎样想到作点N的对称点N′的呢？

生2：角是轴对称图形，AD为∠BAC的平分线.

师：这位同学说得太好啦！在轴对称图形中，作轴对称可以将线段进行转化. 那么BN′的最小值又怎么求呢？BN′的最小值是多少呢？

生2：根据垂线段最短，当BN′⊥AC时，BN′取最小值. 因为AB=4，∠BAC=45°，于是可得BN′=4.

师：我们能总结一下，在这个题目中，我们是怎样求最值的吗？

生（齐）：先作轴对称，转化线段，然后利用“两点之间，线段最短”，将两条线段的和转化成一条线段，再根据垂线段最短，求出最值.

师：“垂线段最短”可单独考查，也可以与“两点之间，线段最短”进行综合考查. 大家在解决问题时，要注意把握题目的本质.

设计意图？摇 通过先举一个单独考查“垂线段最短”的例题，让学生感知求图形最值问题“垂线段最短”是除“两点之间，线段最短”另一个比较重要的依据. 解决练习题时，学生有了例题的体验，解决问题就相对变得容易了. 在解决问题的过程中，培养了学生举一反三、触类旁通的数学思维能力.

【活动4：综合探究，提升能力】

（1）求点 M的坐标；

（2）设G为y轴上线段OM上一点，点P从点M出发，以速度v先沿y轴到达点G，再沿GA到达点A，若点P在y轴上运动的速度是它在线段GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使点P按照上述要求到达点A所用的时间最短.

师：大家拿出铅笔，自己先动笔画一画，琢磨琢磨

师：第（1）问中点M的坐标大家会求吗？

生（齐）：会. （0，6）.

师：大家是怎样求出来的？

生（齐）：根据平行和CD =AC，可得出相似比为1 ∶ 2，进而求出CM=2，OM=6.

师：很好.我们继续第（2）问. 根据“G为y轴上线段OM上一点”，大家作出点G了吗？

（学生比较沉默，大多数同学在思考，个别同学小声说“不知在什么位置”）

师：（启发）我们在分析问题的时候，根据“G为y轴上线段OM上一点”，不妨在线段OM上任意作出点G，以便我们分析问题. 大家拿出铅笔，在线段OM上任意作一点G.

师：时间等于什么？

生（齐）：路程除以速度.

师：速度，题目中有吗？

生（齐）：没有，但是有两倍的关系.

师：我们不妨设若点P在y轴上的运动速度是2v，在线段GA上的运动速度是v，你能把时间表示出来吗？

（教师板书t，学生在学案上书写）

师：v是定值，上面的式子我们能否稍作化简？（教师继续板书t）

师：求t的最小值就是求什么的最小值？

生（齐）：+AG的最小值.

师：大家有没有什么想法？一般我们遇到二分之线段怎么办？

生（齐）：作中点，截一半.

师：大家动笔试一试，作中点是否可行？

（学生比较沉默，大多数同学在思考，个别同学小声说“不行”）

师：好像作中点解决不了问题. 我们再回头看看题目，当大题第（2）问做不出时，我们怎么办？

生（齐）：看看第（1）问.

师：第（1）问给了我们什么提示？看到B，M的坐标你们有什么想法？

（部分同学激动地说有30°角产生，有一些同学激动地说“明白了”）

师：那现在大家知道点G确切的位置了吗？

生（齐）：就是AH与y轴的交点.

师：大家回答得非常好！从这道题中我们能总结什么？

生（齐）：还是“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的综合考查，只是放在动态的背景中了.

师：对于线段的一半，有经验总结吗？

生（齐）：作中点截取，或有30°角可作垂线段解决.

设计意图？摇 通过这个比较综合的例题，让学生继续感知，求圖形最值问题时，“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”是两个最为重要的依据，且传授学生宝贵的经验，即在解决问题时，尝试“作任意点”探究问题，大题中的第（1）问通常会为第（2）问“服务”，“看到30°角要想到”等，以培养学生自主探究、学以致用、温故知新的思维品质.

回顾与反思

1. 教学设计的立意

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从不变的本质中，探索变的规律的一种教学方式. 变式教学的核心是“通过变化以突出其中的不变因素”，从而帮助学生更好地掌握数学概念的本质，包括学会数学地解决问题. 本节课将“将军饮马模型”作为起始模型，不断变换条件，将一个定点变成一个动点，进而将另一个定点也改为动点，即“两定一动”变为“两动一定”再变为“三动”，再结合“垂线段最短”，通过教师的引导和师生的互动，有意识、有目的地引导学生从变的现象中发现不变的本质.

2. 教学思考

（1）利用已有知识，激励学生“以旧换新”，获得最佳发展. 本课注重问题情境的创设，通过学生熟悉的问题引入新课，又通过演示学生十分关心的中考题来激发学生的探究兴趣，通过递进式变式题组，由浅入深，由简入繁，突破教学重难点.

（2）以活动引领，在“探”中思，在“思”中归纳. 本课精心设计教学活动，引导学生从活动1到活动4，提升能力的不同层次和要求，经历发现问题、提出问题和解决问题的过程，鼓励学生大胆实践和猜测，观察和思考，经历结论“再发现、再完善”的过程，引导学生的思维从浅到深，从横向到纵向发展.

（3）串联相关知识点，加深知识间的横纵联系. 本课摒除常见的用函数解决最值问题，而是通过根据图形自身性质这个新的对学生比较陌生的视角来研究最值问题. 通过活动的有序进行，学生不断刷新感知，知识点间的联系和脉络逐渐清晰，有效地帮助学生解剖问题，化解难点，最终在活动的过程中有所获、有所思，并积累形成自己解决问题和分析问题的基本经验，这正是课程标准理念的真实体现.