对“圆锥曲线”中化归思想的探讨及教学反思

筅江苏省南通市天星湖中学成倩文

对“圆锥曲线”中化归思想的探讨及教学反思

筅江苏省南通市天星湖中学成倩文

连续两年任教高三文理数学，都让我感觉到高三学生对解析几何解答题的无助和困惑，要么只会求曲线方程，第2问无从下手；要么解题中途卡住，下面无法解决；要么解题过程烦琐不知简化，白白浪费时间.为此笔者专门研究了2015年的几套高考卷，深有感触，发现多个省市在圆锥曲线这部分的试题，不约而同地考查了学生对条件转化与化归的能力，而这恰恰是大部分高三学生比较薄弱的部分.下面请跟随笔者针对部分真题进行探讨与赏析.

一、已知角相等问题

例1（全国课标卷Ⅰ第20题）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a>0）交于M，N两点.

（1）略；

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

解：（1）略.

（2）假设存在符合题意的点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN.

设点P（0，b），M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.

当b=-a时，k1+k2=0，则直线PM，PN的倾斜角互补.所以∠OPM=∠OPN.

故在y轴上存在点P（0，-a），使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN.

评注：本题第（2）问对∠OPM=∠OPN分析，再结合斜率，联系到此两角相等实则等价转化为直线PM，PN的倾斜角互补，从而利用k1+k2=0进行解题.

（1）略.

（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）略.

（2）因为点B与点A关于x轴对称，

所以B（m，-n）（m≠0）.

设N（xN，0），则

假设存在点Q满足条件，由∠OQM=∠ONQ，∠QOM=∠NOQ，得△QOM∽△NOQ，则，即=|xM||xN|.

评注：本题第（2）问同样也是两角相等，但却与直线斜率无关，本题应该利用相似三角形得线段比相等，从而转化为点M，N，Q坐标量的关系式，再结合第（1）问及对称性进行求解.

二、与对称有关的问题

（1）略；

（2）设点C的坐标为（0，-b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.

解：（1）略.

评注：此题第（2）问应先根据第（1）问中AB的直线方程求出点N坐标，设出点N关于直线AB的对称点S的坐标，从而得出NS的中点T的坐标，考查了中点和对称点的应用，最后转化为两线斜率乘积为-1进行求解，注意在点坐标应用时尽量减少未知参数.

例4（全国课标卷Ⅱ第20题）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

解：（1）证明略.

由（1）得kOM·k=-9，则OM

又9x2+y2=m2，所以得

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM.

评注：第（2）问看到四边形OAPB为平行四边形，学生就应该要想到等价转化成利用中点知识和韦达定理解决问题，接下来就是考查学生的计算能力了.

三、利用向量解决问题

例5（湖南卷第20题）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2

（1）略.

（2）过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且同向.

（i）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；

（ii）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形.

解：（1）略.

（2）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.

（i）因为与同向，且|AC|= |BD|，所以=，从而x3-x1=x4-x2，即x1-x2=x3-x4.于是（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，③

设直线l：y=kx+1，

（ii）由x2=4y得y′=，则C1在点A处的切线方程为y-向量

所以∠AFM是锐角，从而∠MFD=π-∠AFM是钝角.

评注：此题第（2）问的第（i）问将|AC|=|BD|转化为，再适当进行变形，两次结合韦达定理解决问题，计算量偏大；第（ii）问要对△MFD总是钝角三角形联系到直角三角形是如何解决问题的，从而转化为与此角互补的角的向量的数量积大于0即可.

上述这五道关于圆锥曲线的高考题并不难解决，第二问求解过程通过充分分析图形的几何性质，最终都采取了转化与化归的思想，转化之后的类型就是高三复习时的典型题型，可见高考题并不可怕.接下来的就是计算问题，常规方法是设而不求，不解方程，消元利用韦达定理，算出点的坐标进行解决问题；也可设椭圆上主要动点坐标（x0，y0），写出x0与y0满足椭圆方程再化简的方法，此方法要求学生很强的运算能力，而学生掌握得很薄弱.对于定值定点问题的证明问题，这更加要求强大学生分析问题能力，转化与化归能力，推理能力及计算能力和耐力，争取做到快、准、狠！

所以在平时的课堂教学工作中，教师要引导学生自主地向这些思想靠拢，而不是一味地灌输式教学，否则学生很难做到举一反三，应用自如.笔者认为教师在注重基础教学的同时，要适当强化教学的趣味性，关注过程与方法，鼓励学生自主探究；贯彻合作的理念，指导学生合作学习；发挥情感教育功能，渗透人文教育.教师要把握好两点：一是用好教材，克服“教教材”的落后做法，走向“用教材教”的理想境界；二是优化教学过程，抓住每一章节的核心问题、重点问题及难点问题，放手让学生自主探究，去亲历知识的形成过程，同时还要布置一些开放性和探索性的作业，让学生通过自主实践去巩固课堂知识、丰富已做题的经验，重在培养学生的应用意识和能力，从而在高考中打一个漂亮仗！