透过现象看本质，浅谈复习模拟题的三个境界

筅江苏省扬中高级中学周伟伟

透过现象看本质，浅谈复习模拟题的三个境界

筅江苏省扬中高级中学周伟伟

王国维先生在《人间词话》中认为：成大事、大学问者，必须要经历三个境界.笔者愚见，对于高考复习中的模拟题，也需要通过三个境界的学习研究，才算是将高考模拟题的价值充分利用.第一境界，就是仅仅解决这个问题；第二境界，是能够解决与此类似的同类问题；而第三境界，是透过现象看到问题的本质，解决与此题相关的其他问题.

一、解决原题——昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路

研究高考模拟题首先要找到正确的方法，尽量快速的解决问题，将解题过程仔细详尽的呈现出来，让计算结果没有遗漏，准确无误.

例题（2016年北京市高考模拟题）现有一个全部由正整数组成的等差数列｛an｝，前n项和可以用Sn表示.已知等式k-1=S2n-Sn+1恒成立（n∈N*），请求出常数k和等差数列｛an｝的通项公式.

思路突破：本题可以采用数学归纳法，设数列的首项为a1，公差为d，由于k-1=S2n-Sn+1，可以分别取n=1，n= 2，n=3，通过得到的三个等式求出k、a1和d的值，再将所得结果代入k-1=S2n-Sn+1中进行检验，检验过程采用数k-1=S2n-Sn+1，可以得到k（2An-A+B）2-1=A（2n）2+B（2n）-［A（n+1）2+B（n+1）］，整理之后得到4A2kn2+4Ak（B-A）n+（B-A）2k-1=3An2+（B-2A）n-（A-B），由于此式对于（n∈N*）恒成立，所以等式两边对应项全部相等，即4A2k=3A，4Ak（B-A）=B-2A，（B-A）2k-1=-（A+B），通过以上三个学归纳法的一般方法，由于本文的重点是等式恒成立问题，在此对于数学归纳法不再赘述.

利用等式恒成立这一条件来解决此题，根据题目已知条件，可设Sn=An2+Bn，那么an=Sn-Sn-1=2An-A+B，S2n= A（2n）2+B（2n），Sn+1=A（n+1）2+B（n+1），将以上三式代入等式可以解出若A、B都为0，虽然满足等式，但不符合题意，应该舍去），所以k=，等差数列｛an｝的通项公式为

二、拓展训练——衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴

数列中的等式恒成立问题在高考中出现的频率非常高，同样类型的题目在其他省市的高考模拟题中也层出不穷，同类型问题的变式训练，让高考复习又提高了一个境界.通过对数列问题中的等式恒成立变式训练，可以进一步提高复习的质量.

变式1：已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，是否存在等差数列｛an｝，使得等式Sk2 =（Sk）2.若存在，求出所有的｛an｝；若不存在，请说明理由.

变式2：已知｛bn｝是公比为q的等比数列，｛an｝是公差为d的等差数列，求出所有满足条件的数列｛an｝和｛bn｝.

思路点拨：这里的两道数列变式题，与原题是属于同一类型，都是将问题转化为等式恒成立问题.通过题目中的已知条件，设出未知数，然后根据相应关系得出相应的等式方程，然后根据各个项对应相等，求出未知数的值，从而求出数列的通项.

三、深入思考——众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处

等式恒成立问题不仅仅存在于数列中，在解析几何中也有等式恒成立的应用.在高考复习中若能对一道题进行更深层次的思考，透过现象看出问题的本质，这可以算是高考复习的第三层境界，视为最高境界.

变式3：（2016年苏州市高考模拟题）如图1所示，有圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圆C2：（x-4）2+（y-5）2=4.已知P为平面上的点，有无穷多对互相垂直的直线l1和l2经过P点，这些直线分别与两个圆相交，并且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等，请求出所有满足以上条件的P点坐标.

图1

思路突破：将P点的坐标设为（x0，y0），而直线l1可以设为y-y0=k（x-x0）（k≠0），由于直线l1与直线l2垂直，所以直线l2可以设为，根据点到直线的距离公式可以得到等式，则关于k的方程-3k-1-kx0+y0=4+5k-x0-ky0或-3k-1-kx0+y0= -（4+5k-x0-ky0）有无穷多个解，易求出P点的坐标.

变式4：（2015年青岛市高考模拟题）在平面直角坐标系xOy中，二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）的图像与x、y轴有三个交点，圆C经过这三个交点.

（1）求实数b的取值范围.

（2）求圆C的方程.

（3）圆C是否经过与b的取值无关的定点？是，请求出所有的定点；否，请说明理由.

思路点拨：对于本题的前两问，与本文的论点并无关系，在此不再赘述.对问题（3）进行简单提示，根据题目中的条件，圆C经过的定点与b的取值无关，也就意味着关于该定点的等式对于任意实数b恒成立，从而又将问题转化为等式恒成立问题，问题自然能够迎刃而解.

四、反思归纳

通过对等式恒成立问题的深入思考，可以得到诸多启发.在此笔者将这些启发进行总结归纳，与诸位同行共同探讨.

1.高考模拟题复习的三层境界

高考复习中会碰到各省各市的模拟题，对于这些模拟题若能正确对待，合理利用，必然能够提高高考复习的质量.笔者认为，对于高考模拟题的训练，需要达到三个境界，才能算是恰当的使用宝贵的资源.第一层境界就是对原题进行透彻分析，解决这个问题，正如本文中原题呈现环节所做的；第二层境界就是对同类型的题目进行变式训练，让学生进行对比训练，提高复习效率；而第三层境界就是透过问题的本质，发现问题的核心所在，例如本文中的模拟题，其核心内容就是等式恒成立，而等式恒成立不仅仅局限于数列问题，在高中数学的其他方面也多有运用，若能通过等式恒成立来对其他问题进行一并复习，复习效果可想而知.

2.透过现象看本质，方识“庐山真面目”

对于数学问题，需要抓住问题的本质，不能被表面的假象所迷惑.许多学生研究数学问题只能做到从表象到表象，不能抓住问题本质，导致解题方法单一，思维能力得不到锻炼.如果能够抓住问题的本质，就可以一步步将问题抽丝剥茧，紧紧抓住问题的主线，从而解决问题.例如在原题呈现中，解决这个问题的关键是紧紧抓住k-1=S2n-Sn+1恒成立（n∈N*）这个条件，根据这个恒成立条件，得出相应的等式方程，从而求出各参数的值.而在四道变式题中，也是同样的道理，即使题目的条件迥异，但是只要抓住问题的本质——等式恒成立，不断地往这个方向靠拢，将各个条件进行糅合，才能事半功倍地解决问题，方能识得“庐山真面目”.

3.抓住题目特殊词，事半功倍解难题

在高中数学中，有些题目中往往会含有一些特殊词语，这些特殊词语往往大有文章可作.抓住那些特殊词语，对于解题可以说是大有帮助.例如原题呈现中的“对于任意正整数恒成立”，变式3中的“无穷多”.还有一些情况，并不能一下子就能看出这些特殊词语，只不过是换了一种说法，例如变式4中的“与b的取值无关”，仔细一想不就是“对于任意b都成立”，更体现了透过现象看本质的重要性.通过这些特殊词语，可以自然想到这些问题必然是通过等式恒成立来解决，省去了许多不必要的麻烦.在高考中，考试时间非常宝贵，若能好好利用这些特殊词语，必然能够节省考试时间，提高解题效率.

1.胡乾彪.高三的复习课可以上的有效［J］.中学数学（上），2016（2）.

2.杨云.回归课本是高考数学复习的有效途径［J］.数学教学通讯，2016（11）.

3.徐茂炳.透过现象看本质［J］.中学数学，2012（8）.F