概念化教学是改进现代数学教学的有效途径*

●许钦彪 (稽山中学 浙江绍兴 312000)



概念化教学是改进现代数学教学的有效途径*

●许钦彪 (稽山中学 浙江绍兴 312000)

作者介绍： 浙江省数学特级教师，绍兴市首批教授级高级教师.现为浙江省基础教育课程改革指导委员会成员，教育中心研究员，工作室导师，高校师训中心高级访问学者导师，硕士生导师.曾获全国基础教育百佳名校长、全国基础教育科研先进、全国数学竞赛优秀指导教师、全国苏步青数学教育奖，浙江省教坛新秀、先进班主任、“2211”首批名师班优秀学员，绍兴市首届教坛新秀、首届育人新秀、学科带头人、专业技术拨尖人才、学术技术带头人、教育科研先进者等.教育科研上获全国基础教育科研成果一等奖、全国基础教育优秀成果一等奖，主持的全国教育科学规划重点立项课题“让学生自主学习教学模式的实践”获浙江省第4届教育科研优秀成果一等奖(全省各类院校共10 项)、绍兴市人民政府基础教育成果奖，发表科研论文百余篇，主编教学用书11本.长期致力于数学教学目标、数学思维培养、教学方法和教学评价等方面的研究.治教格言：教学相长.

数学概念教学是数学教学的主要基础和重要任务，如何进行数学概念的课堂教学，探究更有效的教学方法，对于当前的中学数学教学是必须和有重要意义的.在正确理解数学概念、数学概念形成和数学概念教学的基础上，文章提出概念化教学，并通过具体的教学实例来阐述概念化教学的课堂教学模式.

概念化教学；思维方式；函数图像

数学概念是构成数学知识的基础，正确理解数学概念是学习掌握数学知识和基本数学方法、技能的前提，因而数学概念教学是数学教学的主要基础和重要任务.由于数学概念的丰富、复杂和抽象，使得数学概念成为教师教学和学生学习的难点.如何进行数学概念的课堂教学，探究更有效的教学方法，对于当前的中学数学教学是必须和有重要意义的.

首先，要正确理解数学概念、数学概念形成和数学概念教学.目前为止，在各种文献资料中，关于这3个方面还未见准确统一的定义叙述，只有一般性的阐述解释.综合各种文献资料的注释，笔者进行通俗和简要地归纳.

1)数学概念，是指人脑对现实事物对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种数学反映形式，即一种数学的思维方式.

2)数学概念形成，是指人们对一类数学对象中若干不同的个例进行反复感知、分析、比较、抽象、归纳，概括出这类数学对象的本质属性而获得概念的方式.

3)数学概念教学，是指把数学已有的概念性知识，包括数学名词、定义、符号、定理、公理、结论、公式和解决问题的基本方法、基本技能等等，通过课堂教学，让学生认识、理解、掌握和运用.

由此可见，数学概念教学实际上是让学生对数学知识从认识、理解、掌握到运用的一个思想过程，也是形成数学思想、养成数学思维、把具体问题数学化、提升数学素养的过程.

我们知道，通过简单、直接认知而接受的知识，往往懒于去深入理解和体会，难有深刻印象，记忆也不会长久，更难以保证牢固掌握和熟练运用.比如，最好的一篇文章、最美的一则故事，即使你多看几遍，也不会长久深刻地记住，更不能依此写出自己的好文章、好故事.而如果文章是自己写的，故事是自己经历的，就必定能让你有长久、深刻的记忆.因为这是通过自己的感知、实践形成的.

概念也是如此，数学概念更是如此.如果教师只是将数学概念特别是一些抽象的概念简单地传授让学生去认知，学生自然会觉得枯燥、乏味，缺乏兴趣，从而缺少学习数学的积极性.而如果教师能把形成数学概念的问题情景提供给学生，让学生自主感知、分析、探究、类比、归纳，通过自身的思维去实践创造而形成数学概念，这样的教学方式必定使学生对概念有更深入的理解、更牢固的掌握、更深刻的记忆和更熟练的运用，也能让学生增加兴趣和动力，体会到“数学来源于自然，概念是自然必然的产物”，感悟数学的本质、数学的美好和数学的有用，从而激发学生学习数学的积极性.这样的概念教学是养成数学思想、培养数学思维、掌握数学知识、提高数学能力、形成数学核心素养的有效途径.这种概念教学模式可以形象地称作概念化教学模式.也就是说，把“教概念”转变为“给出问题情景让学生自主形成概念”，形成概念的过程就是问题情景概念化的过程.

笔者择取人教A版教材中几则常见的数学概念教学片断，说明概念化教学的一般操作模式，供同行讨论批评指正.

1 用概念产生的背景创设情景进行概念化教学

教学内容：集合(选自《数学(必修1)》第1章第1.1.1节).

1.1 主要教学过程

教师给出以下问题情景：学校以学生为教育对象，一般把学生编成以班级为单位进行教学和管理.请同学们用数学思想方法给班级抽象出一个适当的名词，要求这个名词不但对其他班级适用，而且对数学中所有的研究对象和群体也适用.

学生们经过单独思考与合作讨论后，形成了一般的数学认识，认为“班级”这个名词肯定不适合数学中其他的研究对象，而研究对象无论是人还是其他(如数、点、图形、产品等)组成的群体，表示这个群体的适当名词可以有“群体”“团队”“集体”等，这些名词似乎都有道理，但从数学化角度看又似乎都不是很贴切.

教师适当提示学生：在小学和初中阶段，我们已经学过把自然数组成的群体称为自然数的集合.一个班级实际上就是一些对象(人)组成的集合体(集中合起来).经过这个提示引导和前面学生的思考讨论，所有学生都形成了一个统一的名词概念——集合.

教师进一步提问：集合里研究的对象可以是人、数、图像、产品等，如何给对象也取个数学化的“名字”呢？师生统一取名为“元素”.

至此，师生共同明确了集合的概念：数学中，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).教师再进一步让学生以班级为集合例子，探究整理集合的3个特征：

1)班级中的学生是确定的，因此集合的元素是确定的；

2)班级中的学生是互不相同的，因此集合的元素是互异的；

3)班级中学生的顺序是不影响班级的，也就是说学生名单顺序调一下，仍是这个班级，因此集合与里面的元素顺序是无关的(当然，以后在表达集合时，我们还是以习惯性的顺序来描述，但每一个元素不能重复表达).

简言之，集合的3个特征为：元素确定性、元素互异性、元素无序性.教师进一步设问：根据集合的3个特征，2个集合何时相等呢？学生很自然地认识到，当构成2个集合的元素一样(确定，与顺序无关)时，这2个集合相等.

1.2 点评

这样的教学过程就是以创设问题情景进行概念化教学的过程.这种方式不但让学生主动积极地参与了概念的形成过程，使之对概念的认识、理解、掌握更深刻，而且锻炼了学生的数学思想和探究创造精神，同时也使得后续学习关于集合的相关知识变得顺理成章和事半功倍.

对于集合的教学，一般教师都是直接给出集合、元素等概念，这看似简单，实际上这种教学不符合学生的认知规律，也不利于学生形成良好的数学学习方法和数学思维.集合是高中数学的第1课，是学生学习高中数学的起始点.在起始点如何让学生养成正确的数学学习和数学思维方法，对于3年的高中学习是极为重要和关键的.因此，笔者首先借助集合概念化教学的例子，是有益和有意义的.

2 用数形结合创设情景进行概念化教学

教学内容：函数的单调性(选自《数学(必修1)》第1章第1.3.1节).

2.1 主要教学过程

教师给出问题情景：请同学们观察下面2个函数的图像(如图1和图2所示)，分别指出这2个函数在相关区间内从左到右的变化情况.

图1 图2

一般学生都正确地指出了：第1个函数在区间[-2,-1]和[1,2]上是上升的，在[-1,1]上是下降的；第2个函数在区间[-4,-2]和[0,2]上是下降的，在[-2,0]和[2,4]上是上升的.进一步认识到图像从左到右的上升或下降有几个相关因素：

1)与区间有关，即上升或下降是就某个区间而言的；

2)区间内的图像必须存在，即函数有意义或者说在定义域内讨论；

3)某个区间内上升，就是对这个区间内的任意左、右2个点，图像一定是左低右高，下降则一定是左高右低；

4)2个不同的区间没有可比性，如第1个函数在[-2,-1]和[1,2]上都是上升的，但图像高低变化没有可比性.

教师提出要求：请大家把某区间上图像的上升或下降，与该区间上函数值的大小变化联系起来，并描述这种变化.学生由图形到函数值都能认识到：图像从左到右上升，对应函数值随x的增大而增大；图像下降，函数值随x的增大而减小.

教师进一步要求：请大家结合函数图像在区间上的变化，将函数在定义域相关区间内的增大、减小这种变化特征，用数学语言归纳为函数的性质.有了以上的基础准备，一般学生都能自主地描述归纳出函数的这一性质.师生共同整理统一函数的单调性，具体地说：如果对于函数定义域I内某个区间D上的任意2个自变量x1，x2，当x1f(x2)，就称函数f(x)在区间D上是减函数.

教师结合图像，强调“定义域内、区间、任意、都有”等关键因素，并进一步提问：根据以上单调性的定义，是否所有函数都可以将定义域划分成若干个相应区间，使函数在每个区间上都有单调性？并举例说明.

学生思考探索后，师生共同认识下面的几种函数例子：某个区间上为常数的函数、定义域不是区间的函数，也可以回顾教材第22页图1.2和第23页练习2图D等给予形象说明.

2.2 点评

这样的概念化过程，使学生自觉从函数图像的变化形成了增函数和减函数的概念，有利于深刻印象和牢固掌握.同时，在概念化过程中，潜移默化地取得了以下教学效果：

1)注意到了容易忽视的定义域和区间是讨论单调性的前提条件；

2)体现了函数与图像相辅相成的密切关系，使学生进一步认识图像的重要性，为利用图像解决函数问题和后续学习函数性质提供了思想方法；

3)进一步体现了研究数形关系是数学的重要内容和数形结合这一重要的数学思想方法.

值得注意的是，概念化教学时给出的问题情景和提出的有关问题必须目标明确、题意清晰、文字语言精确适当.否则，如果题意不明、设问不当，就容易引起歧义，不但使学生难以形成正确的概念，反而会浪费时间纠缠于无关的猜疑中.

比如，为了说明不是所有函数都有单调性的问题，许多教师经常采用的是以下简单的设问：

1)是否所有的函数都有单调性？

1.2.2 PPG组排除标准 （1）屈光间质中重度浑浊，（2）伴有非青光眼性视神经病变或视网膜疾病，（3）屈光度球镜≥±6D、柱镜≥±2D。

2)举出没有单调性的函数.

这2个设问事实上题意模糊，使得学生难以回答.因为单调性是对具体的区间而言的，离开具体的区间，就不能谈单调性，如此设问反而使学生忽视了区间对于函数单调性的重要性.笔者在听课时，就经常见到当教师这样设问时学生难以思考回答的情景，尤其是自主学习越好的学生越感到困惑.还有学生反问教师：y=x2-2x是否具有单调性？教师说有.这个学生又举出了教材第23页练习2的图D代表的函数，问是否有单调性？教师就无法回答了.

因此教师在设计问题情景时，不能仅以自己的经验习惯或顺理成章的思维，来自以为是地设想学生的思维，要考虑到部分优秀学生的思维或许比你更丰富缜密和准确.当课堂中遇到学生不顺从教师原来的设想时，不能忽视或否认学生的正确思维，强迫学生顺从教师的思想去学习，这会让学生产生不信任和厌倦感.

3 用联想类比创设情景进行概念化教学

教学内容：正弦定理和余弦定理(选自《数学(必修5)》第1章第1.1节).

3.1 正弦定理

3.1.1 主要教学过程

教师给出问题情景：在△ABC中，已知角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，请同学们探究边长a，b，c与对应角A，B，C的关系.

1)由b=csinB，a=ccosB，a2+b2=c2，得到的仍是边长关系，不符合要求.

教师指出：直角三角形有这样对称美的边角关系.很显然，另一类特殊三角形——正三角形也符合这种关系，那么能否推广到锐角三角形呢？

在此基础上，学生就既有目标(边与角的正弦比是否相等)，又有兴趣地积极参与到探求之中，而且容易想到借助直角三角形解决问题.

图3 图4

图5

教师进一步设问：如果是钝角三角形呢？不妨设B是钝角(如图5所示).这时，学生们都能大胆地作高CD尝试：

CD=asin(180°-B)=asinB=bsinA,

同样有

至此，学生形成了一般三角形中边角关系的重要概念：边与对应角正弦比相等.

3.1.2 点评

这样的概念化过程，让学生体会了“从特殊情况推广到一般结论的类比、归纳”等数学推理方法和“从几何图形到数量关系”的数学思想，有利于概念的理解掌握和应用，也有利于后续的学习.

值得注意的是概念化的目的是让学生有效地形成概念.因此在教学过程中，教师应当密切关注学生的思考情况，当观察到学生无从入手时，要及时予以适当的提示，以保证概念化过程顺利、高效地进行.

3.2 余弦定理

3.2.1 主要教学过程

教师给出问题情景：由正弦定理可知，已知△ABC的一些边长和角，就可以求出其他的边长和角，即用一些边长和角可以确定△ABC的大小.请同学们用边长a，b，c和对应角A，B，C为条件确定△ABC有几种类型？其中哪些类型可以用已学的正弦定理解决？

学生思考后，提出了各种类型，师生一起归纳后，共识成以下4种类型：

1)已知2条边1对角，求其余的边和角；

2)已知2个角1对边，求其余的边和角；

3)已知2条边1夹角，求其余的边和角；

4)已知3条边，求3个角.

其中类型1)和类型2)可以用已学的正弦定理解决，类型3)和类型4)不能用正弦定理解决.

教师进一步明确问题情景：从上可见，要完整地解决三角形的边角问题，仅有正弦定理还是不够的.请同学们探究类型3)和类型4)的解决方法.

图6

问题1 在如图6所示的锐角△ABC中，已知边长a，b和夹角C，求边长c.

问题2 已知边长a，b，c，求角C.

学生经过独立思考和相互讨论后，提出了多种解决方法，其中由于正弦定理概念化教学的良好基础，大多数学生与正弦定理的推理进行类比、联想，从而得到了优于教材给出的不同方法：

如图7，作高AD⊥BC，则

AD=bsinC，CD=bcosC.

在Rt△ADB中，因为

AB2=AD2+DB2=AD2+(BC-CD)2，

所以

c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2,

即

c2=a2+b2-2abcosC.

图7 图8

这样就解决了问题1.教师进一步问：如果C是钝角呢？

如图8，同样有

AD=bsin(180°-C)=bsinC，

CD=bcos(180°-C)=-bcosC,

从而

AB2=AD2+BD2=AD2+(BC+CD)2,

得

c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2，

即

c2=a2+b2-2abcosC.

因此，对一般三角形，这个结论都成立.将此公式变形为

问题2也得到了解决.

也有学生提出了类似于教材给出的方法：利用向量方法或直角坐标系方法，教师给予整理、介绍、点评(略).至此，形成了余弦定理的概念，并明确了用其解决三角形的2类问题.

3.2.2 点评

这种概念化教学明显增加了学生的学习兴趣，调动了学习积极性，使学生主动参与概念的探究形成过程.其概念化过程和结论是学生自主、自觉、自然的类比、联想、思考、探究得到的，不但自主形成了余弦定理概念，而且思维活跃、方法灵活.在概念化过程中轻松自然地解决了本节课的另一个难点问题，即解三角形的几种分类、变形和正弦、余弦定理的应用，高效地完成了本节的教学任务.

值得注意的是，在概念化教学过程中，往往能发现学生的思想和方法好于教材给出的，如在本节余弦定理的推导过程中，延续正弦定理的推导方法并利用直角三角形的推导方法就明显好于教材给出的向量方法和直角坐标系方法.

4 用概念的延续扩展创设情景进行概念化教学

教学内容：任意三角形的三角函数(选自《数学(必修4)》第1章第1.2.1节).

4.1 主要教学过程

图9 图10

4.2 点评

这样的概念化教学过程弥补了教材让学生被动接受三角函数定义的不足，使得三角函数的概念由学生根据已学知识的延续类比、自主探索而自然形成，从而更有利于概念的牢固掌握，而且关于三角函数后续的相关知识也能自然而然地得到.

比如，由定义形成的过程容易得到正弦、余弦、正切值在各象限内的符号(学生自主填表并探究，表格参见教材第13页).又由x2+y2=r2，自然得到同角三角函数的2种基本关系式：

总之，概念化教学有利于学生深刻理解、牢固掌握数学知识，提高解决数学问题的能力，认识数学本质，激发学习兴趣，形成自主探究、创新创造思想，锻炼数学思维、数学方法，培养数学核心素养，提升数学教学质量.希望借助本文，抛砖引玉，进一步与同行们讨论和实践.

2017-03-03；

2017-04-03

许钦彪(1962-)，男，浙江绍兴人，浙江省特级教师.研究方向：数学教育和教学方法.

O12

A

1003-6407(2017)06-01-06