穷思竭虑疑无路 柳暗花明又一题*——例说导数零点“不可求”的解题策略

●周超艳 (宁波市惠贞书院 浙江宁波 315016)



穷思竭虑疑无路 柳暗花明又一题*
——例说导数零点“不可求”的解题策略

●周超艳 (宁波市惠贞书院 浙江宁波 315016)

文章通过分析导数零点和符号，研究函数单调性、极值、最值等问题．当导数零点比较难求时，很难借助导数研究函数的性质．文章通过例题介绍了猜根、再次求导、数形结合等8种解题策略，从而使导数零点“不可求”问题迎刃而解．

导数；零点；策略

导数是研究函数单调性、极值和最值的重要工具，也是浙江省新增的数学高考必考内容之一．笔者通过分析导数的零点,确定导数的符号，研究原函数的单调性，从而解决与函数单调性相关的极值、最值、零点等问题．但也不可避免地遇到导函数的零点无法通过解方程求得的情形，这就大大增加了解题难度．笔者就导数零点“不可求”问题，介绍若干解题策略，供大家探讨．

1 猜根策略

评注g′(x)=0是一个超越方程，根据式子特征进行猜根可得x=1．为了防止漏根，可以对导函数或导函数的部分式子进行单调性分析，说明其充要性．

2 再次求导策略

g′(x)=x-lnx-1(其中x>1)．

评注 该题导函数的零点问题仍是一个超越方程问题，虽然可以猜根得x=1，但需先对g′(x)进行再次求导，进一步确定其单调性，从而说明g′(x)的符号及证明x=1是g′(x)的唯一零点，最后求得g(x)的最值．

3 数形结合策略

例3 题同例2

分析 该题已用“再次求导策略”得以求解．事实上，该导数的零点问题也可以借助数形结合进行解决.

图1

lnx=x-1,

易知y=lnx与y=x-1相切于点(1,0)，如图1，从而

g′(x)=x-lnx-1>0(其中x>1),

评注 数形结合是求解超越方程的常用方法之一.该题通过分析直线与曲线的位置关系求得g′(x)的零点，也说明了当x>1时导函数的符号，从而确定了f(x)的单调性．

4 零点存在性定理策略

(2017年浙江省数学高考模拟试题第20题)

评注 虽然f′(x)的单调性易确定，但无法求得其零点．通过零点存在性定理说明f′(x)在[0,1]上的零点情况，从而确定f(x)的单调性，求得f(x)的最大值．

5 代入转化策略

即证

设h(x)=6x2+lnx-1，则h(x)在(0,+∞)上单调递增，又

6 代入消参(元)策略

g′(x)=3x2-x+c,

评注 通过代入消参，减少了变量，简化了函数．该题虽然可以通过求根公式解得导函数的零点，但会大大增加求解h(m)取值范围的运算量．

7 部分代换策略

(ln 2a-lnx)ax+lnx-ln 2a≤0.

设h(x)=(aln 2a)x-axlnx+lnx-ln 2a，由h(x)≤0对所有正数恒成立可得a>0，且h(x)max≤0．又

且

于是h″(x)在定义域上单调递减．当x→0时，h′(x)→+∞；当x→+∞时，h′(x)→-∞，因此存在正实数x0使得h′(x0)=0，即

因为h(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，所以

h(x)max=(aln 2a)x0-ax0lnx0+lnx0-ln 2a，

即

点评 虽然无法解得该导函数的零点，也不能用策略5、策略6把x0或a进行代换，但通过部分代换，把lnx0转化为关于x0的分式，也能简化目标式，达到转化的目的．

8 放缩策略

例8 已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1，若x∈[2，+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．

评注 先通过必要条件缩小参数a的取值范围，再对导函数进行放缩，化动为静，从而确定f(x)的单调性．

综上可知，求解导函数的零点问题本质就是求解函数的零点问题，解方程、零点存在性定理、数形结合是解决该类问题的通法．对于部分超越方程或者含参方程，当通法无法解决时，可以通过代换、设而不求、巧妙转化，亦或是巧搭桥梁、合理放缩，从而使“穷思竭虑疑无路”的导数题得以“柳暗花明”．

2017-02-14；

2017-03-16

周超艳(1987-)，女，浙江宁波人，中学二级教师.研究方向：数学教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)06-23-03