提高探究实效 培养思维能力*

●叶会新 (玉城中学 浙江玉环 317600)



提高探究实效 培养思维能力*

●叶会新 (玉城中学 浙江玉环 317600)

《新课程标准》提出要提高课堂教学效率，教师要引导学生积极思考，激发学习兴趣，主动构建，掌握解题规律；重视反思，探究新解，提升分析问题与解决问题的能力，培养学生探究的数学思维和数学素养．

探究；思维品质；思维策略

苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探究者.”探究式学习作为新课程改革大力提倡的学习方式之一，改变了课堂教学沉闷的现状，让课堂充满了生机，能让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的数学思维.新课程实施以来，教师的观念得到明显改变，在教学中增强了引导学生探究的意识.然而，在教学中仍然存在探究目标不明确、探究途径缺乏、为探究而探究等现象.如何改善这些现象是值得思考的问题，笔者从“理解数学、理解学生、理解教学”出发，在教学中注重探究的实效，从6个方面加以阐述，与同仁们交流.

1 重视数学实验，激发学习兴趣

有效的学习活动不能单纯地依靠模仿和记忆.在立体几何的判定定理教学中,教师应充分重视数学实验，让学生动手操作,体验数学发现和创造的过程，这是培养学生探究能力的有效方法之一．

案例1 2个立体几何问题的数学实验

1)在教学“直线与平面垂直的判定”时，教师在课前要求学生准备好三角形纸片，上课时要求学生过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上．让学生观察纸片与桌面的位置关系，并提出如下问题：折痕与桌面垂直吗？为什么不会垂直？如何改进使其垂直？你认为2者垂直的理由是什么？从中发现定义难以操作，进而得出直线与平面垂直的判定方法．

课本中安排这个探究题作为定理的前奏，目的是想让学生经历从数学实验到展开思考，再进行合情推理的数学知识的形成过程．为此，在操作过程中，要给学生提供充分思考与发现的时间．在折纸的过程与后续思考中，渗透了变与不变的辩证关系，学生能感受到运动中蕴涵着静止，并从中培养发现与探究的能力．

2)在教学“面面平行的判定定理”时，教师提出“怎样检测教室的地面是否平整，你知道泥水匠是用什么来检测的呢”,从而引出使用水平仪测量的方法.教师顺势提供准备好的水平仪，让学生分组合作进行实验操作，并提出“在什么情况下地面是平整的”，再让学生进行交流，选择一个代表发言．“为什么要让教室的地面平整呢”,实际上真正的目的是为了让教室平面与水平面保持平行．之后，进一步追问“怎样判断2个平面平行呢”,上述的教学设计既符合学生的认知基础，也顺应课程标准的“直观感知、操作确认”,课堂教学要让学生理解探究的意义，掌握好数学本质的特征[1].

2 注重问题递进，逐步建构概念

人教社章建跃博士认为：“如何设法在学生学习中融入问题解决的成分，‘问题串’是一种行之有效的方法．”在数学核心概念的教学过程中，如果能设计好精细化的问题串，就能够把问题化大为小，化抽象为具体，能使学生的目标具体化，知识的构建层次化，思维的活动缜密化，从而获得较为清晰的新知，也为数学概念的有效教学奠定坚实的基础[1]．

案例2 人教A版《数学(必修1)》第1.3.1节“函数的单调性”(第1课时)的教学设计片段

教师在学生画图的基础上，引导学生观察图像获得信息，第1个图像从左到右逐渐上升，y随x的增大而增大，第2个图像从左到右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，当自变量变化时，若函数值具有这2种变化规律，则将这2种函数分别称为增函数和减函数．后2个函数图像有上升和下降，需要分段说明．

问题2 能否根据自己的理解说说什么是增函数和减函数？

图1

学生的困惑之处是分界点的位置难以确定，因此教师可适时组织学生讨论，把研究函数的图像问题转化为研究函数的解析式．

问题4 如何从解析式的角度说明函数y=x2在[0,+∞)上是增函数？

在教学中，首先组织学生分组探究，然后全班交流，相互补充，并对学生的想法作出及时评价，对其中出现的主要问题进行讨论，让学生在辨析中达成共识．

问题5 判断下列命题是否正确：

1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)>f(1)，则函数在R上是增函数；

2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)>f(1)，则函数在R上不是减函数；

4)若函数f(x)在(2,3]和(3,4)上均为增函数，则函数f(x)在(2,4)上为增函数；

通过上述问题串的设计、探究，学生经历了从特殊到一般、从定性分析到定量分析，培养了学生的能力，也顺利解决了本节课的学习重点和难点．

3 运用变式探究，激活学生思维

高三数学复习，特别是二轮复习，为了提高课堂教学的有效性和针对性，让学生有更多时间关注本质问题和问题的本质，提炼通性通法，教师可通过变式教学，在变中求进、进中求通，从而实现课堂效率的最大化．

在二轮复习“离心率”专题中，根据复习教学的目标和学情，笔者给出下面的例题，之后提出一系列的问题变式，对学生进行强化训练．

( )．

(答案：A.)

通过上述题组的变式教学，引导学生运用类比、猜想、特殊和一般化的思想方法，探索问题的变化规律，揭示问题的本源，强化学生的探究意识，进而培养学生的思维能力.

4 变换思维视角，提高解题能力

数学解题教学的真正价值在于教师设置问题时应从学生的心理层面出发，关注学生探究数学知识的心理过程，做好相应的教学设计，对典型问题解法的探究有助于加深学生对数学问题的理解，发挥其想象力和创造力．

图2

(2011年北京市数学高考理科试题第19题)

分析 试题表述简洁，考查的重点是思维及运算能力.本题的关键是如何处理好直线、单位圆和椭圆的位置关系，把问题转化为寻找变量之间的函数关系，最后归结为求函数的最值问题.那么，如何构造满足题意的函数呢？可从以下6个视角切入并展开分析．

视角1 解析几何题要充分利用几何条件，发现几何规律、简化解题方案．在本题中，教师可用几何画板先探究△ABF的周长(注：点F是椭圆的右焦点)是定值，再引导学生证明.解题过程要善于挖掘出这一隐含条件，通过△ABF周长为定值来搭建桥梁，最后求出|AB|的最大值．

视角2 题中直线与单位圆相切，通过分析、推理可得|AB|=2S△ABD，借助面积关系可以求|AB|的最大值．

视角3 设切线方程为x=ty+m(不可能为水平直线)，直线与圆相切得到m2=t2+1，通过直线与椭圆方程联立得出弦长|AB|关于m的函数关系式,再结合基本不等式求出最大值．

视角4 设切点为P(x0,y0)，则切线方程为x0x+y0y=1，下面分析同视角3．

视角5 解决解析几何问题，可利用参数、向量、三角等手段处理，利用直线和椭圆方程的参数几何意义来求距离的最大值．

从以上6个视角的分析可以看出，解析几何的本质特征是几何问题代数化，要学会透过几何问题的表征抓住问题的本质，通过多元联系形成解题的多元化.因此，教师在平时的教学中要找准问题，精准发力.

5 强化纵向探究，优化思维品质

高效课堂应该构筑纵向探究的高地，学生思维品质的原野才能郁郁葱葱.因此，教师的教学应该是在问题呈现之后，引导学生不断地思考、分析、探索和解决问题，引导学生深入地挖掘、探究问题.

性质1 圆的弦AB的斜率与其中点M和圆中心O连线的斜率之积kAB·kOM=-1(定值)．

由上述性质可得如下定理：

定理1 有心圆锥曲线的动弦的斜率与其中点和圆锥曲线中心的连线的斜率之积为定值．

再进一步思考：通过类比，大家猜想一下椭圆中可能还存在哪些斜率乘积为定值呢？比如，例3中椭圆上任意一点P的切线斜率和OM的斜率乘积等.

1)点A，B为双曲线C上任意的点，P为AB的中点，若AB，OP的斜率存在且不为0，则kAB·kOP是否为定值？

2)点P为C上除顶点外任意一点，过点P的直线l与双曲线相切．若直线l的斜率为k且不为0，则k·kOP是否为定值？

3)过原点的直线l与双曲线C交于点A，B，P为C上任意一点．若直线PA，PB的斜率存在且不为0，则kPA·kPB是否为定值[3]？

数学探究的一小步，就是学生的自主意识、探究能力提升的一大步．教师只有通过有效的数学探究，学生的思维能力才能进一步提升，思维品质也将逐步得以优化．

6 重视反思总结，优化思维策略

反思是通向数学创造的捷径，是发生创新思维的绝佳方式，教师要重视解题反思习惯的培养，重视联想、类比，让学生学会思考问题；通过反思改善学生的思路分析能力，优化思维方向与策略的选择，进一步提升学生的解题思维水平．

从上述例2中不同视角的分析来看，对于相同的条件、不同的角度、不同的理解会产生不同的方法．视角1多次使用了“若点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程”的基本观点，同时抓住了△ABF周长为定值这一隐含条件，使问题得以突破解决，值得在高考复习中探讨；视角2～4通过直线与椭圆方程联立，借助韦达定理和两点间的距离公式将|AB|表示出来，并通过均值定理求出最值，虽然运算量较大，但属于通性通法;视角5、视角6从直线和椭圆的参数角度去分析，方法也较常规．这些视角的分析说明了:解析几何的求解首先要基于通性通法，其次要注意与其他知识、方法的联系，如三角代换等．同时，审题中要善于挖掘隐含条件，抓住问题中的关键点，这些会切实减少运算量．对于不同的视角及其相应的方法，要进行优劣比较，注意其不同的适用条件，不断优化思维的方向与策略．

再比如在例3中，教师必须强调方法的共性，要让学生明白为什么会有类似的结论,寻找这种共性产生的原因，发现相关问题都是二次曲线的本质联系，从而形成一种系统性的思维视角．学生只有学会总结反思，学会感悟，知识才能内化、迁移为自己所有，才能形成真正的能力.总之，方法不在巧，重在得当，重在反思，善于反思．

荷兰著名的数学家弗赖登塔指出：“数学知识不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的．”因此在平时的教学中,教师应自觉开展数学探究，创设有利于探究活动的环境，让问题探究意识的培养真正在课堂中扎根，不断提高数学课堂的效率，从而提高数学教学的实效性．

[1] 于新华．数学课堂中实施探究的思考与实践[J]．中学数学教学参考：上旬，2014(12)：14-16．

[2] 王芝平，王坤．高考必做的36道压轴题[M]．北京：外语教学与研究出版社，2013．

[3] 王尚志，张思明．走进高中数学新课程[M]．上海：华东师范大学出版社，2008．

2017-03-13；

2017-04-14

叶会新(1973-)，男，浙江玉环人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-41-04